Пример. Решить уравнение 
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения: 
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид: 
Общее решение линейного неоднородного уравнения: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение однородного уравнения: 
Частное решение неоднородного уравнения: .
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
где х - независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции 
… 
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по 
, то для любой точки 
этой области существует единственное решение
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций 
, 
, … 
, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.
Разностные (рекуррентные) уравнения
1. Числовая последовательность
Определение: f(n)=y(n)- функция натурального аргумента
Формулы общего члена 
Рекуррентный способ задания числовой последовательности:
или 
d-разность прогрессии
Формула общего члена:
Рассмотрим функцию
линейная функция
Для информации
- сумма «n» члена арифметической прогрессии
2. Геометрическая прогрессия
q-знаменатель прогрессии
Формула общего члена
Построим график функции
-показательная функция
Для информации
- сумма геометрического ряда
- сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии
Пример 3
Числа Фибоначчи
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….
Эту последовательность впервые получил итальянский математик эпохи возрождения Леонардо Фибоначчи. Он изучал численность потомства одной пары кроликов, если она ежемесячно производит пару крольчат, и те через месяц тоже начинают производить потомство.
Начало - 1,1
1 месяц - 2 пары
2 месяц - 3 пары…………..
Французский математик БИНЕ нашёл формулу общего члена
,где
отношение золотого сечения
(соотношения в пропорциях человеческого тела)
Отношение высоты картинки 
для чисел Фибоначи
3 Сеточные функции
Пусть функция 
ƒ(x) определена на 
Разобьём на «n» части
шаг сетки
Если шаг сетки 
, то сетка равномерная с шагом h, в противном случае неравномерной.
Если область определении функции D(ƒ)= 
то функция называется сеточной
(в общем случае, множество 
счётное)
Для удобства выполнения взаимно однозначна отображение.
тогда сеточная функция, это функция аргумента К
если сетка счётная, то получим числовую последовательность
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)