Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл имеет вид: 
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.
С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение имеет вид: 
Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.
Окончательно получаем: 
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение 
может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тогда 
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Итого 
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем 
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример. Решить уравнение 
с начальным условием у(0) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого 
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
(верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно 
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
с начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.
С учетом начального условия:
Окончательно 
Пример. Решить дифференциальное уравнение 
с начальным условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Подставим в исходное уравнение:
Общее решение будет иметь вид: 
C учетом начального условия у(1) = 0: 
Частное решение: 
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
с начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Обозначим: 
Уравнение принимает вид:
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Сделаем обратную замену: 
Общее решение: 
C учетом начального условия у(1) = е: 
Частное решение: 
Второй способ решения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:
Решение исходного уравнения ищем в виде: 
Тогда 
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Получаем общее решение:
Пример. Решить дифференциальное уравнение 
с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение принимает вид: 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)