Алгебраическое уравнение «n» порядка относительно переменной q.
Рассмотрим следующие случаи для построения Фундаментальная система решений(ф. д.м.)
1) 
- различные вещественные корни
Ф. С.Р, 
2) Среди вещественных корней есть кратные qi-кратность ri
соответствующие частные решения
3) Если
модуль комплексного числа
аргумент комплексного числа
тригометрическая формула комплексного числа
два частных решения
4. Если 
-корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:
Заметим, что в любом случае Ф. С.Р. состоит из «n» частных решений
Тогда общее решение однородных уравнений:
Пример:
y(k+5)+2y(k+4)-y(k+3)+4y(k+2)-2y(k+1)+4y(k)=0
Составим характеристическое уравнение:
разложим на многочлен
Корни характеристического уравнения
q=1 (кратность 2) 
q=-2
Ф. С.Р. 
Общее решение:
Решение линейных разностных уравнении с постоянными коэффициентами
Пусть дано уравнение:
(1) 
,
И соответствуюшее ему однородное уравнение
(2) 
Как уже отмечалось, общее решение уравнения (1) можно представить в виде
где
- общее решение однородного уравнения (2);
- частное решение уравнения (1)
Заметим, что справедливо так же теорема о суперпозиции решений; если
-решение уравнения
-решение уравнения
, то
- решение уравнения
Нахождение частного решения линейного неоднородного разностного уравнения n-го порядка по виду правой части.
(1) 
Известные числа
b-известно
Вид частного решения :
-неизвестные коэффициенты
Сравним b с корнями характеристического уравнения:
если 
появляется множитель 
(2) 
коэффициенты многочленов b- известно 
и 
- степени многочленов
Обозначим 
частное решение имеет вид:
коэффициент многочленов степени «m» нам неизвестены коэффициенты
Если среди корней характеристического уравнения нет комплексных, то r=0.
Пусть среди корней есть комплексные крайности «r»
Найдем 
Запишем показательную формулу этого числа
Сравним два числа:
и 
если 
, то r=0
если 
, то появится множитель
Пусть имеем некоторое линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка.
Сначала составим характеристическое уравнение для соответствующего однородного и найдем его корни
Корни 
1. Запишем: 
в=1, m=0 ( cстепень ногочлена)
1) если 
, то 
2) 
, то 
1) 
, то 
2. 
в=5; m=0
1) если 
, то 
2) если 
, то 
3) если 
, то 
3. 
Запишем: 
1) 
, то 
2) 
, то 
4.
1) 
, то 
2)
, то 
5. 
Запишем: 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)