Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме). Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных дифференциалах). Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.
2. Комплексные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
3. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.
Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.
1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.
2. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой). Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).
3. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.
4. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.
10. Темы для самостоятельного изучения
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Форма самостоятельной работы | Кол-во часов | Форма контроля выполнения самостоятельной работы |
1 | Дифференциальные уравнения. | - вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - вопросы к коллоквиуму | 21 | - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум - доп. вопросы на экзамене |
2 | Разностные уравнения | - вопросы для самостоятельного изучения, - домашние работы - контрольная работа - вопросы к коллоквиуму | 21 | - проверка домашних работ, - проверка контрольной работы, - коллоквиум - доп. вопросы на экзамене |
Интерактивные формы занятий:
№ раздела (темы) | Формы |
1. | дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах, индивидуальная работа со студентами |
2. | дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах, индивидуальная работа со студентами |
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Практическое занятие №1 тема «Дифференциальные уравнения первого порядка».
Пример.1.
- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается 
.
- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается 
- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
Теперь интегрируем: 
- это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
Найти особое решение, если оно существует.
Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ¹ 0.
Уравнения с разделяющимися переменными
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям
- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т. к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
- верно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
при условии у(2) = 1.
при у(2) = 1 получаем 
Итого: 
или 
- частное решение;
Проверка: 
, итого
- верно.
Пример. Решить уравнение 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)