1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме).
3. Уравнение с разделяющимися переменными.
4. Однородное уравнение.
5. Уравнение в полных дифференциалах.
6. Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной.
7. Уравнение Бернулли.
8. Комплексные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
9. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
10. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
11. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).
12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации постоянных.
13. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
14. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.
15. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой).
16. Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).
17. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме).
Темы задач:
1. Уравнения с разделяющимися переменными.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Уравнения Бернулли.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации постоянных.
8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
9. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.
10. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.
17. Содержательный компонент теоретического материала
Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме). Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных дифференциалах). Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.
2. Комплексные числа. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
3. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.
5. Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.
6. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.
7. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой). Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).
8. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка. Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.
9. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения. Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.
18. Словарь терминов (глоссарий)
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Свойства общего решения.
1) Т. к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2) При каких - либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С0).
Решение вида у = j(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.
Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
Теорема Коши - теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка.
Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.
Интегральной кривой называется график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.
Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т. е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.
Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т. е. соотношение вида:
Если такое соотношение преобразовать к виду 
то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
Функцию f(x, y) представим в виде: 
тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:
- это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Уравнения вида y’ = f(x). Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как 
. Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
.
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем к новым обозначениям 
Получаем: 
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)