В экономике сеточная функция встречается:
1. Рост процентного вклада
2. Величина долга по займу с регулярными выплатами
3. модель рынка
4. Модель делового цикла (Самуэльсона-Хикса)
Разностные операторы
Пример
Сетка
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимно однозначное соответствие
или 
Разностные первого порядка
Определение- Δ
правые разности первого порядка
Вычислим все первые разности в нашем примере:
Δ
Δ
Δ
Δ
Рассмотрим свойства разности первого порядка
1. Свойство линейности
Δ
С1ΔYk+C2ΔZk
Доказательство:
2. 
Проверим в нашем примере
Разности второго порядка
- правые разности второго порядка
Выведем функцию для вычисления 
Формула для вычисления разности второго порядка
Вычислим разности второго порядка в нашем примере
Разности третьего порядка
Определение: 
Вычисления:
Формула для вычисления
В нашем примере
Аналогично получаем разности «n»-ого порядка
В нашем примере:
Общая формула для разности четвёртого порядка:
Линейные обыкновенные разностные уравнения
Линейным разностным уравнением “n” порядка относительно неизвестной сеточной функции называется уравнение вида:
f(k), 
известные сеточные функции
y (k) – неизвестная функция
На примере уравнения второго порядка:
f(k)=ek
Используя определения разности второго и первого порядка и преобразуем левую часть уравнения:
Уравнения 
может быть приведено к уравнению вида ( линейное неоднородное разностное уравнение):
1.
-известные функции
y(k)-неизвестная функция
Линейное однородное разностное уравнение имеет вид:
2. 
Примечание
Порядок уравнения определяется максимальным количеством узлов сетки, входящих в неизвестную функцию y(k+n), начинается с номера(k+1)
Решением разностного уравнения (1) называется сеточная функция у=у(k) 
, которая удовлетворяет данному уравнению
Пример:
Проверим, что функция
Решение этого уравнения
и подставим в левую часть
Начальные условия для разностных уравнений:
(*) 
Общим решением уравнения (1) называется сеточная функция
произвольные постоянные, при этом
при н. у (*)
- решение уравнения (1)-это частное решение
В однородном уравнении индексы у разностных функций могут быть произвольным образом смещены на “m” шагов
Например:
Решение линейных разностных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
(2) 
y(k)- неизвестная функция
Ищем частное решение в виде 
- неизвестная функция
- неизвестное число 
Подставляем теперь в правую часть (2)
характеристическое уравнение
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Основные порталы (построено редакторами)