5 Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса
С помощью метода Гаусса можно решить любую систему алгебраических уравнений AX=B. Матрица А может быть квадратной или прямоугольной. Исключая постепенно неизвестные из уравнений, приходим к уравнению, содержащему одну неизвестную и, если определитель системы не равен нулю, находим единственное решение системы. Если в процессе преобразований получим противоречивое уравнение вида 
, то система не имеет решения, несовместна. Если последнее уравнение после всех преобразований содержит несколько неизвестных, то система имеет множество решений. Любое из этих решений состоит из r базисных неизвестных и n-r свободных неизвестных. Число базисных неизвестных определяется рангом r системы, r<n. Свободным неизвестным можно дать любые значения. Если свободные неизвестные приравнять к нулю и найти базисные неизвестные из образовавшейся при этом системы, то полученное решение называется базисным. Число базисных решений ограничено.
Рассмотрим решение типовой задачи.
Задача
Дана система алгебраических уравнений
(1)
Определить ранг и найти все базисные решения системы (1).
Решение
Все преобразования уравнений системы проведем над коэффициентами и свободными членами, записанными в виде расширенной матрицы
.
С помощью линейных преобразований приведем ее к треугольному виду (нули под диагональю)
.
Запишем соответствующую этой матрице систему уравнений:
(2)
Определитель 
, следовательно, ранг системы r = 2. Число базисных неизвестных r = 2, число всех неизвестных n = 4, следовательно, число свободных неизвестных n-r = 2. Система (1) имеет бесчисленное множество решений. Среди них найдем базисные решения:
1) определитель 
, соответствующие неизвестные 
, 
– базисные, 
, 
– свободные.
Пусть 
, 
. Подставим в систему (2), получим
, 
.
Базисное решение системы (1) имеет вид 
.
2) определитель 
, следовательно, соответствующие неизвестные , – базисные, , – свободные.
Пусть 
, . Подставим в систему (2), получим
, 
.
Базисное решение системы (1) имеет вид 
.
3) определитель 
, следовательно, соответствующие неизвестные , – базисные, , – свободные.
Пусть , . Подставим в систему (2), получим
, 
.
Базисное решение системы (1) имеет вид 
.
4) определитель 
, следовательно, соответствующие неизвестные , – базисные, , – свободные.
Пусть 
, . Подставим в систему (2), получим
, 
.
Базисное решение системы (1) имеет вид 
.
5) Определитель 
, следовательно, соответствующие неизвестные , – базисные, , – свободные.
Пусть , . Подставим в систему (2), получим
, 
.
Базисное решение системы (1) имеет вид 
.
6) Определитель 
, следовательно, соответствующие неизвестные , – базисные, , – свободные.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
