Варианты расчетно–графической работы по линейной алгебре (стр. 3 )

Пусть , . Подставим в систему (2), получим

, .

Базисное решение системы (1) имеет вид .

Замечание: если , то нет соответствующего базисного решения.

Ответ: r = 2, , , , , .

6 Собственные числа и собственные векторы матрицы

Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, если АХ=λХ, где λ – собственное число матрицы А. Число λ находим из характеристического уравнения Det (A-λE)=0. Подставляя λ в однородную систему линейных алгебраических уравнений (A-λE) =0, находим соответствующий собственный вектор.

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача

Дана матрица . Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Решение

Оставим матрицу .

Характеристическое уравнение имеет вид

, .

Корни полученного уравнения , , являются собственными числами матрицы А.

Найдем соответствующие собственные векторы из системы уравнений или

1) пусть λ=4, подставив в систему уравнений, получим

, , , , , .

Множество коллинеарных собственных векторов, соответствующих λ=4 запишем в виде . При t = 1 фундаментальный собственный вектор имеет вид (1,0,0).

2) пусть λ=3, подставив в систему уравнений, получим

, , , .

При , , собственные векторы . Фундаментальный собственный вектор имеет вид (-1,1,1).

3) пусть λ=1, подставив в систему уравнений, получим

, , .

При , , собственные векторы . Фундаментальный собственный вектор имеет вид (-,-1,1).

Ответ: , , – собственные значения

(1,0,0) , (-1,1,1), (-,-1,1) – собственные векторы.

7 Разложение вектора по базису

Система ненулевых векторов называется линейно-независимой, если равенство справедливо только при ,

Система n линейно-независимых векторов в n-мерном пространстве образует базис. Всякий вектор этого пространства можно разложить по базису, то есть представить в виде , где – координаты вектора в базисе .

Рассмотрим решение типовой задачи.

Задача

Даны векторы , , и .

1) доказать, что векторы образуют базис;

2) разложить вектор по этому базису.

Решение

1 Запишем условие линейной независимости векторов :

(1)

или .

Приравняем коэффициенты при , получим

Однородная система уравнений имеет единственное нулевое решение, если определитель системы не равен нулю.

Вычислим , следовательно, , , .

Равенство (1) выполняется только при ,