Тема: Двойные интегралы. Системы случайных величин. Элементы математической статистики (стр. 6 )

Задача 3. Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = {(х, у) | х2 + у2 £ 4; 0 £ у £ ; y ³ х }.

Найти:

1)  плотность распределения;

2)  вероятность Р[(Х, У)Ì G] попадания в область G={(х, у)| х2+у2 £ 4; у £ - x};

3)  плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности j(х| у) и y (у| х);

4)  математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

5)  дисперсии D(X), D(Y);

6)  корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 4. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие 16 значений:

Х1 = 2	Х2 = 3	Х3 = 7	Х4 = 4
Х5 = 6	Х6 = 3	Х7 = 6	Х8 = 5
Х9 = 8	Х10= 1	Х11= 4	Х12= 7
Х13= 3	Х14= 8	Х15= 6	Х16= 8

Требуется:

1)  построить статистическое распределение;

2)  изобразить полигон распределения;

3)  построить эмпирическую функцию распределения;

4)  считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5 участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных частот.

Задача 5. Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15:

-1,057	-1,331	-0,629	-1,485	-1,877
-1,077	-0,851	-0,594	-1,673	-0,257
-1,331	-1,629	-0,485	-1,177	-1,077

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и s2.

Требуется:

1)  вычислить точечные оценки а* и (s2)* параметров а и s2, принимая а*= , (s2)*= (а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х>2);

2)  построить доверительные интервалы для параметров а и s с надежностью 0,99;

3)  используя c2 – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.

Задача 6. По данным корреляционной таблицы:

Х/У	10	20	30	40	50	nx
11	-	2	-	10	-	12
16	4	-	6	-	-	10
21	-	2	3	1	-	6
26	-	-	40	2	4	46
31	1	-	2	6	8	17
36	-	6	-	-	3	9
ny	5	10	51	19	15	n =100

1)  найти условные средние и ;

2)  оценить тесноту линейной связи между случайными величинами Х и У, а так же обоснованность связи между этими величинами;

3)  составить уравнение линейной регрессии У по Х и Х по У;

4)  сделать чертеж, нанеся на него условные средние и прямые регрессии.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 (Вариант 10)

(спец. 080502, 080507, все формы обучения)

ТЕМА: Двойные интегралы. Системы случайных величин. Элементы математической статистики.

Задача 1. Вычислить двойной интеграл , если область D образует треугольник с вершинами в точках А(0; -6), В(-3; 2), С(-1; 4).

Задача 2. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У) задан таблицей:

Х / У	-4	-2	1	2
-5	0	0,05	0,05	0,05
-1	0,1	0,05	0,05	0
2	0	0	0,2	0,1
3	0,1	0,1	0,05	0,1

Найти:

1)  законы распределения случайных величин Х и У;

2)  условный закон распределения случайной величины Х, при условии что

У =1;

3) математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X), D(Y);

5) корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 3. Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = {(х, у) | х2 + у2 £ 4; 0 £ у £ 1; y ³ }.

Найти:

1)  плотность распределения;

2)  вероятность Р[(Х, У)Ì G] попадания в область G={(х, у)| х2+у2 £ 4; у £ };

3)  плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности j(х| у) и y (у| х);

4)  математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

5)  дисперсии D(X), D(Y);

6)  корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 4. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие 16 значений:

Х1 = 4	Х2 = 5	Х3 = 4	Х4 = 4
Х5 = 5	Х6 = 5	Х7 = 4	Х8 = 8
Х9 = 6	Х10= 2	Х11= 6	Х12= 2
Х13= 1	Х14= 2	Х15= 9	Х16= 7

Требуется:

1)  построить статистическое распределение;

2)  изобразить полигон распределения;

3)  построить эмпирическую функцию распределения;

4)  считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5 участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных частот.

Задача 5. Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15:

2,416	1,580	1,353	2,133	2,069
1,887	2,405	2,318	2,331	1,621
2,286	2,586	1,490	2,288	2,638

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и s2.

Требуется:

1)  вычислить точечные оценки а* и (s2)* параметров а и s2, принимая а*= , (s2)*= (а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х>2);

2)  построить доверительные интервалы для параметров а и s с надежностью 0,99;

3)  используя c2 – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.

Задача 6. По данным корреляционной таблицы:

Х/У	25	35	45	55	65	nx
4	-	7	-	-	3	10
9	-	-	-	8	-	6
14	4	2	6	2	-	14
19	-	-	40	-	4	44
24	1	-	4	9	7	21
29	1	2	-	-	-	3
ny	6	11	50	19	14	n =100

1)  найти условные средние и ;

2)  оценить тесноту линейной связи между случайными величинами Х и У, а так же обоснованность связи между этими величинами;

3)  составить уравнение линейной регрессии У по Х и Х по У;

4)  сделать чертеж, нанеся на него условные средние и прямые регрессии.