Тема: Двойные интегралы. Системы случайных величин. Элементы математической статистики (стр. 1 )

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 (Вариант 1)

(спец. 080502, 080507, все формы обучения)

ТЕМА: Двойные интегралы. Системы случайных величин. Элементы математической статистики.

Задача 1. Вычислить двойной интеграл , если область D образует треугольник с вершинами в точках А(-3; 2), В(3; -1), С(1; -2).

Задача 2. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У) задан таблицей:

Х / У	-4	-3	-2	1
0	0,05	0	0,1	0
1	0,2	0,05	0	0,1
2	0,1	0,05	0,05	0,05
3	0	0,1	0,05	0,1

Найти:

1)  законы распределения случайных величин Х и У;

2)  условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что

У =1;

3) математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X), D(Y);

5) корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 3. Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = {(х, у)| х2 + у2 £1; 0£ у£; у³ -х }.

Найти:

1)  плотность распределения;

2)  вероятность Р[(Х, У)Ì G] попадания в область G={(х, у)| х2+у2 £ 1; у £ };

3)  плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности j(х| у) и y (у| х);

4)  математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

5)  дисперсии D(X), D(Y);

6)  корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 4. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие 16 значений:

Х1 = 1	Х2 = 5	Х3 = 4	Х4 = 3
Х5 = 9	Х6 = 7	Х7 = 8	Х8 = 7
Х9 = 2	Х10= 9	Х11= 8	Х12= 5
Х13= 2	Х14= 6	Х15= 5	Х16= 9

Требуется:

1)  построить статистическое распределение;

2)  изобразить полигон распределения;

3)  построить эмпирическую функцию распределения;

4)  считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5 участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных частот.

Задача 5. Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15:

1,578	2,298	1,874	2,103	2,385
1,860	1,792	2,232	2,355	2,177
2,078	1,950	1,868	1,976	2,449

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и s2.

Требуется:

1)  вычислить точечные оценки а* и (s2)* параметров а и s2, принимая а*= , (s2)*= (а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х>2);

2)  построить доверительные интервалы для параметров а и s с надежностью 0,99;

3)  используя c2 – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.

Задача 6. По данным корреляционной таблицы:

Х/У	10	20	30	40	50	nx
4	2	-	-	-	-	2
9	3	7	-	-	-	10
14	-	3	2	1	-	6
19	-	-	50	10	4	64
24	-	-	2	6	7	15
29	-	-	-	-	3	3
ny	5	10	54	17	14	N =100

1)  найти условные средние и ;

2)  оценить тесноту линейной связи между случайными величинами Х и У, а так же обоснованность связи между этими величинами;

3)  составить уравнение линейной регрессии У по Х и Х по У;

4)  сделать чертеж, нанеся на него условные средние и прямые регрессии.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 (Вариант 2)

(спец. 080502, 080507, все формы обучения)

ТЕМА: Двойные интегралы. Системы случайных величин. Элементы математической статистики.

Задача 1. Вычислить двойной интеграл , если область D образует треугольник с вершинами в точках А(2; 3), В(-3; 0), С(-1; 6).

Задача 2. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У) задан таблицей:

Х / У	-5	-3	-2	1
0	0,1	0	0,05	0
2	0	0,01	0,2	0,05
3	0,05	0,05	0,1	0,05
4	0,05	0,1	0	0,1

Найти:

1)  законы распределения случайных величин Х и У;

2)  условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что

У =1;

3) математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X), D(Y);

5) корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 3. Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = {(х, у)| х2 + у2 £1; 0£ у£; у ³ -х}.

Найти:

1)  плотность распределения;

2)  вероятность Р[(Х, У)Ì G] попадания в область G={(х, у)| х2+у2 £ 1; у £ х};

3)  плотности распределения f1(x) и f2(x) случайных величин Х и У и условные плотности j(х| у) и y (у| х);

4)  математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

5)  дисперсии D(X), D(Y);

6)  корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

Задача 4. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие 16 значений:

Х1 = 7	Х2 = 5	Х3 = 4	Х4 = 2
Х5 = 2	Х6 = 7	Х7 = 2	Х8 = 5
Х9 = 7	Х10= 4	Х11= 2	Х12= 8
Х13= 7	Х14= 9	Х15= 9	Х16= 3

Требуется:

1)  построить статистическое распределение;

2)  изобразить полигон распределения;

3)  построить эмпирическую функцию распределения;

4)  считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5 участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных частот.

Задача 5. Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15:

-0,507	0,884	0,641	0,745	1,146
0,363	0,371	0,535	0,320	0,381
0,763	0,565	-0,006	0,496	0,419

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и s2.

Требуется:

1)  вычислить точечные оценки а* и (s2)* параметров а и s2, принимая а*= , (s2)*= (а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х>2);