Рейтинговая система обучения дисциплине "Дифференциальная геометрия и топология": организационно-методические материалы (стр. 4 )

Поверхности

10.  Проверка принадлежности поверхности, заданной параметрически в декартовых координатах, классу гладких (регулярных) поверхностей.

Пример. Проверить, является ли поверхность регулярной (если «да», то какого класса?):

а) ; б) ?

Ответ. а) регулярная класса ; б)нерегулярная.

11. Параметризация поверхности, заданной явно в декартовых координатах.

Пример. Параметризовать поверхность .

Ответ. .

12.  Нахождение уравнений касательной плоскости и нормали поверхности в точке при различных способах ее задания в декартовых координатах (параметрическом, явном, неявном).

Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали поверхности в точке М:

а) ;

б) ; в) .

Ответ. а) ; б) ;

в) .

13.  Применение первой квадратичной формы к нахождению длины дуги кривой на параметризированной поверхности.

Пример. На круговом цилиндре найти длину дуги кривой , заключенной между точками и .

Ответ. .

14.  Применение первой квадратичной формы к нахождению угла между координатными линиями на параметризованной поверхности.

Пример. Найти угол между координатными линиями на гиперболическом параболоиде в точке М(1; 1; 1).

Ответ. .

15.  Применение первой квадратичной формы к нахождению площади области на параметризованной поверхности.

Пример. Найти площадь криволинейного треугольника на цилиндре , , ограниченного координатными линиями, проходящими через точку М(1; 0; 1), и кривой .

Ответ. .

16.  Вычисление полной (гауссовой) кривизны поверхности в точке.

Пример. Вычислить полную кривизну конуса в произвольной точке.

Ответ. 0.

17.  Вычисление средней кривизны поверхности в точке.

Пример. Вычислить среднюю кривизну конуса в точке М(1; 0; 1).

Ответ. .

18.  Вычисление главных кривизн поверхности в точке.

Пример. Вычислить главные кривизны катеноида в точке М(0; 1; 0).

Ответ. .

19.  Нахождение уравнения индикатрисы кривизны (Дюпена) поверхности в точке.

Пример. Составить уравнение индикатрисы Дюпена прямого геликоида в точке М(1; 0; 0).

Ответ. .

20.  Определение типа точки поверхности.

Пример. Определить тип точек прямого геликоида .

Ответ. Все точки – гиперболического типа.

СЕМЕСТР 4

Элементы ТОПОЛОГИИ

А. Основные знания

1.  Топология на множестве. Топологическое пространство. Открытое множество в топологическом пространстве. Окрестность точки.

2.  Естественная топология метрического пространства.

3.  Антидискретное и дискретное топологические пространства.

4.  Сравнение топологий, заданных на одном и том же множестве.

5.  Замкнутое множество в топологическом пространстве.

6.  Строение открытых и замкнутых множеств в пространстве R1.

7.  Индуцированная топология на подмножестве топологического пространства. Подпространство топологического пространства.

8.  Точка прикосновения и внешняя точка множества в топологическом пространстве. Замыкание множества.

9.  Внутренняя и граничная точки прикосновения множества.

10.  Предельная и изолированная точки прикосновения множества.

11.  Критерий открытости множества в топологическом пространстве.

12.  Критерий замкнутости множества в топологическом пространстве.

13.  Всюду плотное множество в топологическом пространстве.

14.  Непрерывное отображение топологического пространства в пространство.

15.  Критерий непрерывности отображения топологического пространства в пространство.

16.  Гомеоморфное отображение топологического пространства на пространство. Вложение топологического пространства в пространство.

17.  Гомеоморфный образ открытого (замкнутого) множества.

18.  Гомеоморфные пространства.

19.  Топологическое свойство и топологический инвариант пространства.

20.  Топологическая классификация пространств.

21.  База топологии (топологического пространства). Вторая аксиома счетности.

22.  Хаусдорфово топологическое пространство.

23.  Связное топологическое пространство. Связное множество в топологическом пространстве. Область в топологическом пространстве.

24.  Линейно связное топологическое пространство. Линейно связное множество в топологическом пространстве. Соотношение между связностью и линейной связностью.

25.  Компактное топологическое пространство. Компактное множество в топологическом пространстве.

26.  Критерий компактности множества в евклидовом пространстве.

27.  Прямое произведение топологических пространств. Прямое произведение хаусдорфовых, связных, линейно-связных, компактных пространств.

28.  Фактор-топология, порожденная сюръекцией. Фактор-топология, порожденная отношением эквивалентности на множестве.

29.  Фактор-пространства квадрата (лента Мёбиуса, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость и др.).

30.  Локально-евклидово топологическое пространство. n-мерное непрерывное (топологическое) многообразие.

Б. Основные умения и навыки

1.  Проверка выполнения аксиом топологии.

Пример. Является ли топологией на множестве X={a,b,c} совокупность его подмножеств:

а) {Ø, X, {b}, {a,b}, {a,c}};

б) {Ø, X, {a}, {b}, {a,b}, {a,c}}?

Ответ. а) нет; б) да.

2.  Проверка подмножества топологического пространства на открытость, замкнутость.

Пример. Какие из множеств A, B, C, D являются открытыми и незамкнутыми, замкнутыми и неоткрытыми, ни открытыми ни замкнутыми, и открытыми и замкнутыми в топологическом пространстве (X, τ):

а) A=[1;+∞), B=(1;3], C=(-1;0)(0;1), D={1,2}, (X, τ)=R1;

б) ,

(X, τ)=R2;

в) .A={a}, B={b}, C={a, b}, D= Ø, X={a, b}, τ={ Ø, X, {a}}?

Ответ. а) A, D – замкнутые и неоткрытые, B – ни открытое ни замкнутое, C – открытое и незамкнутое; б) A, D – открытые и незамкнутые, B – замкнутое и неоткрытое, C – ни открытое ни замкнутое; в) A – открытое и незамкнутое, B – замкнутое и неоткрытое, C, D – и открытые и замкнутые.

3.  Сравнение топологий, заданных на одном и том же множестве.

Пример. Сравнить топологии τ0 (антидискретную), τ* (дискретную), τ1={ Ø, X, {a}},

τ2={Ø, X, {b}} на множестве X={a,b}.

Ответ. τ0 – самая слабая, τ* – самая сильная, τ1 и τ2 – несравнимые.

4.  Проверка множеств на открытость, замкнутость в подпространстве топологического пространства.