Рейтинговая система обучения дисциплине "Дифференциальная геометрия и топология": организационно-методические материалы (стр. 5 )

Пример. Какие из множеств A, B, C, D являются открытыми и незамкнутыми, замкнутыми и неоткрытыми, ни открытыми ни замкнутыми, и открытыми и замкнутыми в полуинтервале [0; 10) числовой прямой R1 (топология на полуинтервале индуцирована топологией пространства R1):

A=[0; 1), B=[1; 10), C=[0; 10), D=(1; 9]?

Ответ. A – открытое и незамкнутое, B – замкнутое и неоткрытое, C – и открытое и замкнутое, D – ни открытое ни замкнутое.

5.  Нахождение точек прикосновения множества в топологическом пространстве.

Пример. Найти замыкание множества в топологическом пространстве:

а) (-1; 0)(0; 1) в R1; б) Q в R1; в) S1 в R2; г) В3 в R3.

Ответ. а) [-1; 1]; б) R; в) S1; г) D3.

6.  Нахождение внутренних и граничных точек множества в топологическом пространстве.

Пример. Найти внутренность и границу множества в топологическом пространстве:

а) (-1; 0][1; 2) в R1; б) II в R1; в) S2 в R3; г) D2 в R2.

Ответ. а) (-1; 0)(1; 2) и {-1, 0, 1, 2}; б) Ø и R; в) Ø и S2; г) B2 и S1.

7.  Нахождение предельных и изолированных точек множества в топологическом пространстве.

Пример. Найти совокупность предельных и совокупность изолированных точек множества в топологическом пространстве:

а) N} в R1; б) [0; 1){2} в R1; в) B2\{(0; 0)} в R2; г) S2 в R3.

Ответ. а) {0} и N}; б) [0; 1] и {2}; в) D2 и Ø; г) S2 и Ø.

8.  Проверка отображения топологического пространства на гомеоморфность.

Пример. При каких значениях a, b, c функция являеться гомеоморфизмом R1 на R1?

Ответ. R.

9.  Конструирование гомеоморфных отображений пространства, проверка топологических пространств на гомеоморфность.

Пример. Найти какой-нибудь гомеоморфизм промежутка А на промежуток В числовой прямой (доказать, что промежутка А и В гомеоморфны):

а) A=[1; 5], B=[2; 3]; б) A=(0; 1), B=(0; +∞); в) A=(0; 1], B=[0; 1).

Ответ. а) ; б) ; в) .

10.  Проверка свойства пространства на топологическую инвариантность.

Пример. Какие из следующих свойств являются топологическими:

а) свойство пространства Х быть сепарабельным;

б) свойство пространства Х быть полным;

в) свойство фигуры в Rn быть выпуклой;

г) свойство фигуры в Rn быть ограниченной;

д) свойство пространства Rn иметь размерность n?

Ответ. а), д).

11.Проведение топологической классификации совокупности топологических пространств.

Пример. Провести топологическую классификацию: а) совокупность букв фамилии, имени, отчества; б) графиков основных элементарных функций школьного курса математики; в) кривых второго порядка (как подпространств пространства R2).

Ответ. б) класс 1 –

; класс 2 – ; класс 3 –

; класс 4 – ; класс 5 – ;

в) класс 1 – эллипс; класс 2 – гипербола, пара параллельных прямых; класс 3 – парабола, прямая (двойная); класс 4 – пара пересекающихся прямых; класс 5 – тачка.

12. Нахождение базы топологического пространства.

Пример. Укажите несколько баз пространства R1.

Ответ. β1=τR1, β2={(a;b) | a<b, a, b R*} (R*= R{+∞}{-∞}), β3={(a;b) | a<b,

a, b R}, β4={(a;b) | a<b, a, b Q} и т. д.

13.  Проверка топологического пространства на удовлетворение 2-й аксиоме счетности.

Пример. Удовлетворяет ли пространство R1 2-й аксиоме счетности?

Ответ. Да.

14.  Проверка топологического пространства на удовлетворение аксиоме отделимости Т2.

Пример. Являются ли хаусдорфовыми следующие пространства:

а) антидискретное; б) дискретное (в котором не меньше двух точек);

в) произвольное метрическое; г) (Х, τ), где Х={a, b}, τ={Ø, X, {a}}?

Ответ.а) нет; б) да; в) да; г) нет.

15.  Проверка пространства, подмножества пространства на связность.

Пример 1. Является ли связным пространство: а) антидискретное (в котором не меньше двух точек); в) R1; г) (Х, τ), где Х={a, b}, τ={Ø, X, {b}}?

Ответ. а) да; б) нет; в) да; г) да.

Пример 2. Является ли связным множество: а) Z в R1; б) Q в R1; в) (1; 2] в R1; г) S1 в R2; д) B3D3((10; 10; 10), 1) в R3; е) «польский отрезок» в R2?

Ответ. а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да.

16.  Проверка пространства, подмножества пространства на линейную связность.

Пример 1. Является ли линейно связным пространство: а) антидискретное; б) дискретное (в котором не меньше двух точек); в) Rn?

Ответ. а) да; б) нет; в) да.

Пример 2. Является ли линейно связным множество: а) Z в R1; б) Q в R1; в) (1; 2] в R1; г) S1 в R2; д) B3D3((10; 10; 10), 1) в R3; е) «польский отрезок» в R2?

Ответ. а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет.

17.  Нахождение компонент связности, компонент линейной связности пространства, множества в пространстве.

Пример 1. Найти компоненты связности: а) произвольного связного пространства (Х, τ); б) дискретного пространства; в) пространства (Х, τ), где Х={a, b, с}, τ={Ø, X, {a}, {b} {a, b}, {a, c}}.

Ответ. а) Х; б) каждое одноэлементное подмножество; в) {a, c} и {b}.

Пример 2. Найти компоненты связности: а) множества Q в R1; б) графика функции в R2; в) Т2 \ (АВ), где А, В – соответственно параллель и меридиан тора Т2 в R3; г) «польского отрезка» АВ, где А={(x; y) | x(0; ], }, B={(0; y) | y[-1;1]} в R2.

Ответ. а) каждое одноэлементное подмножество Q; б) ветви данной гиперболы;

в) Т2 \ (АВ); г) АВ.

Пример 3. Найти компоненты линейной связности: а) произвольного связного пространства (Х, τ), б) дискретного пространства; в) пространства (Х, τ), где Х={a, b, с}, τ={Ø, X, {a}, {b} {a, b}, {a, c}}.

Ответ. а) Х; б) каждое одноэлементное подмножество; в) {a, c} и {b}.

Пример 4. Найти компоненты линейной связности: а) множества II в R1; б) «польского отрезка» АВ в R1 (см. пример 2); в) B2D2((10; 10; 10), 1) в R3;