г) произвольного выпуклого множества А в Rn.

Ответ. а) каждое одноэлементное подмножество ІІ; б) А и В; в) B2 и D2((10; 10; 10), 1); г) А.

18.  Проверка пространства, подмножества пространства на компактность.

Пример 1. Является ли компактным пространство: а) антидискретное; б) бесконечное дискретное; в) произвольное конечное; г) Rn?

Ответ. а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Пример 2. Является ли компактным множество: а) [0; 1]{2} в R1; б) замкнутая полуплоскость в R2; в) В2((-2; 0), 1)В2((2; 0), 1) в R3; г) S2 в R3?

Ответ. а) да; б) нет; в) нет; г) да.

19.  Нахождение прямого произведения топологических пространств.

Пример. Найти прямое произведение (указать носитель и базу топологии):

а) ; б) ; в) (множители – подпространства соответствующих евклидовых пространств).

Ответ. а) {(x, y) | x, y(-1;1)}, { | U, V τR1} (топологический квадрат, открытый); б) {(x, y, z) | , z[-1;1]}, { | UτR2}, V τR1} («боковая поверхность цилиндра»); в) {(x, y, u, v) | , }, { | U, V τR2} (топологический тор, заполненный).

20.  Нахождение фактор-пространства топологического пространства.
 
Пример. Найти фактор-пространство квадрата (с топологией, индуцированной топологией τR2 пространства R2) по отношению эквивалентности S, заданному фактор-диаграммой:

а)
 

; б)
 

; в)
 

; г)
 

.
 
 

Сделать эскиз поверхности в R3, гомеоморфной указанному фактор-пространству (если таковая существует).
 
Ответ. а) – г) (K/S, τ (K/S)), где K/S={[p] | pK} – фактор-множество множества К по отношению эквивалентности S, (p)=[p] – фактор-отображение, τ (K/S).=.{ | τR2 } – фактор-топология; а) лента Мёбиуса;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

б) тор; в) бутылка Клейна (не допускает вложения в R3); г) проективная плоскость (не допускает вложения в R3).

Приложение 3
 

образцы итоговых тестов базового уровня

Вариант 1

1. Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=3t3-2, y=2t2-6, z=-t+4, tR, проходит через точку М(-2,-6,4) и определить параметр t этой точки. Вычислить кручение кривой в точке М.

Ответ: 4,5.

2.   Доказать что меридианы и параллели параметризованной сферы в каждой точке их пересечения перпендикулярны

3. На множестве задана топология . Найти совокупность замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ: - топология. Х- компонента связности.

4.   Являются ли следующие множества компактными:

а) в R1; б) R x R в R2 ?

Ответ: а) да; б) нет.

Вариант 2

1.   Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=3t3-2, y=-t2+6, z=-2t-4, tR, проходит через точку М(-2,6,-4) и определить параметр t этой точки. Доказать, что точка М не является точкой спрямления.

2.   Написать уравнение нормали к параметризованному эллиптическому параболоиду в точке Е(u=, v=).

Ответ: .

3. На множестве задана топология . Найти совокупность замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ: - топология. {a, b} и {c}- компоненты связности.

4.   Являются ли следующие множества компактными: а) [4;6) \ {5} в R1; б) {}x{} в R2 ?

Ответ: а) нет; б) да.

Вариант 3

1.   Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=4t3-2, y=2t2-6, z=3t-4, tR, проходит через точку М(-2,-6,-4) и определить параметр t этой точки. Доказать, что точка М не является точкой уплощения.

2.   Найти первую квадратичную форму параметризованного прямого геликоида

, и с ее помощью вычислить длину дуги координатной линии v=1, заключенной между ее точками S и T с координатами u=2 и u=3 соответственно.

Ответ:

3. На множестве задана топология . Найти совокупность замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ: - топология. X- компонента связности.

4.   Являются ли следующие множества компактными: а) в R1; б) R х Z в R2 ?

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7