Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 2 )

Наряду с чем, отмечается, что постановку задачи, обратной вычислению интеграла (1), олицетворяет собой совокупность уравнений вида (2), (3), которые предметно конкретизированы. Как альтернатива традиционному переименованию известной и неизвестной функций уравнения (1).

Цель настоящей статьи состоит в сведении процедуры определения функции , удовлетворяющей уравнению (1), к численной реализации интегрального уравнения Фредгольма второго рода, с использованием, в первую очередь, прямых методов. При этом роль ядра Пуассона [5] будет играть другое, также симметричное ядро, позволяющее изначально «работать» с функциями пространства (в [4] такой подход отсутствовал).

Следует заметить, что базирующаяся на общей основе [4] техника преобразований, которая реализована ниже, тем не менее, имеет существенные отличия по сравнению с [5]. Вместо итерационной процедуры на уровне уравнений здесь будут выступать ядра интегралов в виде тригонометрических рядов.

В этой связи большой интерес, по нашему мнению, представляет оценка погрешности процедур численной реализации посредством сопоставления решений, получаемых с использование алгоритмов: [5] и настоящей статьи. Действительно, проверка точности решения путем подстановки в уравнение (1) неэффективна, о чем говорилось выше (со ссылкой на [3, с. 224]).

1. Погрешность процедуры интегрирования. Как известно, некорректность задачи определения функции из уравнения (1) обусловливается сглаживанием информации о ней в процессе интегрирования (см. соответствующие пояснения в [5]). Подразумевается прямая задача вычисления функции по формуле (1). В этой связи предположим, что напротив, погрешность процедуры интегрирования с участием той же функции является, в некотором смысле, нулевой.

Интерпретация сказанного математически может быть следующей:

(4)

где – параметр;

(5)

операторы:

;

(6)

, – новая неизвестная функция; о ядре скажем ниже, п. 2.

Из (4) – (6) следует, что невязка между функцией и суммой интегралов от нее и на интервале равна нулю. При этом протяженность интервала интегрирования является вдвое большей, .

Однако, соотношение (4) содержит функцию в явном виде, иначе говоря, появился тождественный оператор , о котором говорилось выше. Одновременно возникла и новая постановка задачи, а именно. Вместо некорректной задачи (1) определение удовлетворяющей этому уравнению функции будет рассматриваться в совокупности с (4).

Заметим, что вопрос о необходимости определения новой неизвестной не стоит (тем не менее, в процессе реализации алгоритма она, очень даже, понадобится). В данном контексте весьма интересен также следующий момент. Соотношение (4) можно трактовать в качестве интегрального уравнения Фредгольма второго и первого рода относительно функций соответственно и . Иначе говоря, некорректность, присущая из уравнения (1), как бы, «переадресована» функции , посредством (4).

2. Выбор ядра . Итак, (4) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно функции :

(7)

причем – не канонического вида, поскольку пределы интегрирования и интервал определения различны. Ядро предполагается таким, что

(8)

аналогично функции из (1).

Замена переменной в (8) приводит уравнение (7) к каноническому виду:

(9)

и, конечно, мы не собираемся его решать. Смысл в том, что ядро необходимо выбрать так, чтобы решение уравнения (9) в пространстве существовало и являлось единственным. С целью очевидного упрощения последующих выкладок следует принять ядро симметричным, .

Условием существования и единственности решения (1) является замкнутость системы собственных функций симметричного ядра , которые удовлетворяют однородному уравнению [1, пп. 3.4, 3.15]:

(10)

где – характеристические числа (см., например, [6, п. 10]).

Наконец, весьма важный фактор выбора – это удобство проведения дальнейших преобразований, в плане их компактности. В этой связи отметим совпадение спектральные характеристик , уравнения (10) и его аналога:

(11)

В свете сказанного, наиболее предпочтительным является ядро

(12)

[6, с. 72], характеристические числа и ортонормированные на собственные функции которого имеют вид:

(13)

[6, с. 191].

Заметим, что проверка, путем подстановки выражений (12) и (13) в уравнение (11), подтвердила достоверность определения спектральных характеристик рассматриваемого ядра. По теореме Мерсера, с подстановкой элементов (13), ядро

(14)

[2, с. 164].

Причем, выражения (12) – (14), как и упомянутая проверка достоверности (13), непосредственно относились к уравнению (11). Преобразование его к виду (10) осуществляется путем изменения знаков переменных. При этом ряд (14) остается таким же. Можно сделать существенный в данном случае вывод об идентичности формул обращения операторов и , которые выражаются через резольвенту, п. 3.