Таким образом, налицо возможность приведения (62) к интегральному уравнению относительно . Однако это будет уравнение Фредгольма первого рода, поскольку функция , присутствующая явно в правой части (62) и выражении для , сокращается, см. (15), (17). Заметим, что (61) – это также уравнение первого рода относительно .

Конечно, зная , мы можем вычислить функцию из соотношения (26), на интервале . Принципиально неосуществимым является построение относительно нее интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Иначе говоря, отсутствует конструктивная возможность определения данной функции так, чтобы путем обращения оператора в уравнении (26) мы могли найти решение исходной задачи (1).

Выше, в контексте уравнения (4), отмечалась своего рода переадресация статуса некорректности от функции из уравнения (1) – другой функции, а именно , поскольку теперь она оказалась присутствующей только под знаком интеграла. Что же, на этапе последующего превращения (4) в уравнение (26) функция , в свою очередь, произвела переадресацию упомянутого статуса. Некорректность стала присущей функции .

И не только ей. Очевидно, нам также не удастся выстроить уравнение Фредгольма второго рода относительно функции , присутствующей в (30). Функция находится в другой ситуации, поскольку уравнение (32) весьма благоприятно (структурный аналог (36)). Однако вычислить мы можем лишь, зная функцию , нахождение которой представляет сложную задачу, о чем говорилось выше, п. 10.

11.5. Последовательность вычислений. В тексте содержится большое количество формул, однако, для реализации алгоритма из них нужны совсем немногие. Процедура является следующей:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

-  вычисление ядра и свободного члена по формулам (38), (39);

-  нахождение функции из уравнения (36);

-  вычисление функции по формуле (37);

-  вычисление функции по формуле (48);

-  вычисление функции по формуле (49).

Возникает вопрос – почему бы, в качестве иллюстрации алгоритма не привести решение тестового примера в аналитическом виде? Действительно, если принять ядро , см. (14), и , проинтегрировав по формуле (1), получаем . Вследствие ортогональности элементов (14), (19) и (23), вычисления в указанном порядке осуществляются очень просто.

Однако постановка задачи является совершенно неудовлетворительной, поскольку она эквивалентна ситуации, когда ряд (14) содержит лишь первый член, , а значит, ядро не является замкнутым. Поэтому решение неидентифицируемо на фоне суперпозиции синусоид , коэффициенты которых причудливо взаимосвязаны с параметром (см., в частности, [2, п. 3.15]).

Выводы

1.  Постановка задачи, обратной вычислению интеграла с ядром, не должна состоять исключительно в переименовании функций, – известной на неизвестную, что является общепринятым. Иначе говоря, – в непосредственном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода , , трактовке его в качестве самостоятельного объекта исследования, – некорректной задачи. Как представляется, путаницу в существо проблемы вносит использование в отношении данного объекта понятия «решение». Гораздо более плодотворна постановка вопроса о поиске функции , удовлетворяющей уравнению первого рода. В такой интерпретации логично выйти за пределы данного уравнения. Представить его интеграл в качестве разности также интегральных компонентов, однако, корректно поставленных задач. Конечно, в первую очередь, здесь подразумеваются интегральные уравнения Фредгольма второго рода.

2.  Мы предполагаем, что подлежащая определению функция присутствует также в совершенно другом уравнении, как явно, так и интегрируемой с ядром , которое замкнуто и простейшего вида (для большей эффективности вычисления резольвент, с параметром ). Данное уравнение удовлетворяется за счет аналогичного интеграла с функцией , . Мы трактуем его как модель погрешности процедуры интегрирования. Это уравнение, в совокупности с исходным: , олицетворяют собой альтернативную постановку задачи. Да, наряду с функцией , появилась еще одна неизвестная функция , но и уравнений теперь стало два, причем второе из них весьма благоприятной, для преобразований, структуры. Вследствие присутствия тождественного оператора . Такой подход можно трактовать с позиций реализации информационного ресурса рассматриваемой задачи [14, п. 3.2], который в ее прямой постановке (вычисление интеграла – функции ) является избыточным.

3.  Распространение второго из указанных выше уравнений, а именно: на интервал и использование процедуры своеобразного «перетекания» между интервалами, превращаясь в функцию , инициирует появление новых уравнений, а также целой вереницы неизвестных функций. Исходная задача «встраивается» в одну из полученных конструкций как прибавление нуля: , Динамизм сложившейся ситуации способствует реализации мощного потенциала обращения операторов с ядром , вида . В результате реализации достаточно прозрачных преобразований, рассматриваемая задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, в его, по существу, канонической интерпретации. После чего, функция , удовлетворяющая исходному уравнению, находится по формуле обращения, на интервале .

4.  Итак, структурные преимущества, которые сообщил задаче оператор , оказались гораздо более весомыми по сравнению с появлением упомянутой выше «вереницы» неизвестных функций, что лишь на первый взгляд могло бы показаться негативным. В самом деле, присутствие каждой из них является совершенно оправданным. Они, можно сказать и так, «вбирают в себя» всю ту некорректность, которая изначально присуща оператору . Или же, как неоднократно отмечается в тексте статьи: происходит «переадресация статуса некорректности» (в смысле процедур реализации интегральных уравнений). Вначале от функции – к функции , и далее в порядке появления новых уравнений. Заметим, кстати, что лишь одно из уравнений, которые удается получить в результате преобразований, является конструктивным. Естественно, мы используем его в своем алгоритме (кстати, это уравнение относительно разности соответствующих функций). Теоретически имеется еще одна возможность, однако, сопряженная с большой громоздкостью вычислений. Остальные варианты приводят к уравнениям Фредгольма первого рода, или же, практической неосуществимости вычислений. Итак, абсолютного устранения фактора некорректности нет. От некорректности можно избавиться лишь в локальном варианте, который, тем не менее, нам вполне достаточен.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8