Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 5 )

(47)

(аналог (16)), где свободный член

(48)

см. (46).

По формуле (18) решение уравнения (47) является таким:

(49)

(естественно, параметр здесь тот же, что в (37) – (39)).

Итак, в конечном итоге некорректная задача (1) свелась к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (47), решение (49) которого выражается через резольвенту (19). Для определения искомой функции мы воспользовались уравнением (4), или же (47), получив решение в виде (49).

Что же осталось вновь вернуться к уравнению (31) на интервале , с учетом оговоренного выше перетекания: и , или же просто принять во внимание (1) и (26). Мы получаем уравнение:

	(50)

можно сказать, – дополняющее его часть (27) на указанном в (50) интервале.*

Вычитая из (50) уравнение (47), с учетом (48), получаем

(51)

следовательно, выражение (49), являющееся решением (47), удовлетворяет также уравнению (50), а значит, – и исходному уравнению (1). В самом деле, следует лишь перенести функцию в правую часть уравнения (51).

Итак, по существу, в центре внимания у нас функция , которая находится следующим образом: определение из уравнения (36); вычисление по формуле (37); тождественный переход (46).

Однако, зная , , и ядро , из (1), мы могли бы найти путем решения также интегрального уравнения Фредгольма второго рода (50). Конечно, в сопоставлении с (47), данное уравнение является более громоздким и, все же главным является вопрос – будут ли получаемые решения идентичными?

Вместе с тем, какая-либо альтернатива здесь невозможна, поскольку уравнение (47) представляет собой компоненту (50), сокращение которой сразу же ведет к (51). Отметим, что уравнения (27), (50) сыграли роль базиса в определении . Очень важным также явился разрыв нулевой невязки между и в (31) посредством уравнения (32).

9. Аспекты численной реализации. Для ускорения сходимости рядов из (37) – (39) целесообразно использовать специальные методы, см., в частности, [9, пп. 3.3.8, 3.3.9]. Весьма эффективен также метод суммирования ряда посредством вычисления средних арифметических его членов [10, п. 1.18]. Ускорению сходимости может способствовать оптимальный выбор параметра .

Наряду с чем, можно ожидать достаточно быстрого убывания величин интегралов в выражениях (37) – (39), которые находятся численно, с ростом . Заметим, что интегрирование по формуле (48), очевидно, следует также производить численно, подставляя не ряд (14), а ядро в его исходном виде (12).

Предположим, что параметр может быть выбран произвольно. В таком случае он должен быть отличным от характеристических чисел однородного уравнения (41), с ядром (38), которое является функцией параметра . Однако, если конкретизировать, например, (как и должно быть, см. п. 11.3), вообще говоря, могут возникать определенные осложнения с выбором параметра .

Очевидно, параметр должен быть таким, чтобы однородное уравнение (41) не располагалось на спектре.

Что касается аналитического исследования зависимости решения уравнения (36) от параметра , убедительно продемонстрировал возникающие при этом особенности [11, п. 48]. Они обусловливаются также и нелинейной зависимостью выражений (38), (39) от параметра , поскольку он присутствует в знаменателях. Мы вернемся к теме , , п. 11.3.

10. Другой вариант преобразований. Подразумевается, что уравнение (36) относительно функции мы использовать не будем. Обратимся к уравнению (33) на интервале :

	(52)

Вычитая из (26) на уравнение (52), получаем:

(53)

и, конечно, учитывая второе из соотношений (34), мы сражу же приходим к (46) и решению задачи.

Однако представляет интерес ответить на вопрос: можно ли вывести интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции , и какие при этом возникают осложнения? Суть в том, что решение рассматриваемой задачи, выражается через функцию просто, посредством обращения оператора в уравнении (30).

Поэтому используем второе из соотношений (53). Соответственно возникает необходимость выразить функцию через , как решение уравнения (32). Мы приходим к тому же уравнению (36), однако, теперь на место данной функции в выражение свободного члена (39) нужно подставить . Вместе с тем, как можно заметить, такое уравнение нельзя решить численно и требуется построение резольвенты ядра .

Соответствующая процедура состоит в решении интегрального уравнении Фредгольма второго рода:

(54)

[7, с. 60]. Она является гораздо более сложной, по сравнению с решением уравнения (36), из-за зависимости искомой функций от двух переменных. Мы упоминали об уравнении (54) в контексте оценок достоверности резольвент ядра , п. 3.