Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 1 )

DIFINITION OF THE FUNCTION SATISFYING THE FREDHOLM INTEGRAL EQUATION OF THE FIRST KIND ON THE BASE OF SOLUTION OF SPECIALLY CONSTRUCTED FREDHOLM INTEGRAL EQUATION OF THE SECOND KIND (with addition)

G. Bronshpak, A. Vashchenko, S. Dotshenko, E. Perchik

An error of integration models an equation with required function in an explicit form with the symmetric kernel. The spread of this equation on an extended interval leads to an appearance of the new unknown functions both integrable and explicitly present. As the result there take place procedures of “flowing” of functions into explicit form and back by the means of conversion of the Fredholm integral operators of the second kind. An incorrect problem “embeds” in this process giving it its own kernel and the free term. So it realizes a constructive algorithm that fully corresponds to the tittle of the article.

УДК 517.9

, кандидат экономических наук, Украина, Харьков. E-mail: *****@***ru

, кандидат экономических наук, Харьковский национальный университет городского хозяйства им. . Украина, Харьков. E-mail: *****@***com

, кандидат технических наук, Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства им. П. Василенко. Украина, Харьков. E-mail: *****@***ru

Е. Л. Перчик, кандидат технических наук. Украина, Харьков. E-mail: *****@***ru

Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)*

Погрешность интегрирования моделирует уравнение с искомой функцией в явном виде и симметричным ядром. Распространение этого уравнения на расширенный интервал приводит к появлению новых неизвестных функций, как интегрируемых, так и присутствующих явно. Вследствие этого осуществляются процедуры «перетекания» функций в явный вид, и обратно, посредством обращения интегральных операторов Фредгольма второго рода. Некорректная задача «встраивается» в этот процесс, сообщая ему свои ядро и свободный член. Таким образом, реализуется конструктивный алгоритм, в полной мере отвечающий названию статьи.

Ключевые слова: погрешность интегрирования; замкнутость ядра; тождественный оператор; расширенный интервал; обращение оператора

Содержание

№ п/п	Наименование раздела	Стр.
Введение	3
1.	Погрешность процедуры интегрирования	5
2.	Выбор ядра	6
3.	Резольвенты ядра	7
4.	Расширенный интервал	8
5.	Встраивание некорректной задачи	9
6.	Интегральное уравнение задачи	9
7.	Определение функции	10
8.	Решение исходной задачи	11
9.	Аспекты численной реализации	13
10.	Другой вариант преобразований	14
11.	Пояснительные соображения	15
11.1	Универсальность ядра	15
11.2	Оператор Вольтерра	15
11.3	Выбор параметров и	16
11.4	Переадресация некорректности	17
11.5	Последовательность вычислений	18
Выводы	18
Список использованной литературы	20

Введение. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

(1)

где ядро и свободный член являются данными, в предпосылке о том, что решение , теоретически, существует и единственно [2, п. 3.15]. Мы говорим «теоретически», поскольку реально ряд, представляющий функцию , расходится даже вследствие округлений цифр в машинной памяти. Аналогично, осложнениям принципиального характера подвержены и другие методы решения уравнений вида (1), см., в частности, [3, п. 4].

В целом, представляется возможным сделать следующий вывод: реализация алгоритмов определения функции из уравнения (1) осуществима лишь в условиях проведения вычислительного эксперимента, с участием человека. Иначе говоря, эти алгоритмы не формализованы, что является весьма негативным.

Обратим внимание, в названии подчеркнуто говорится об отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1), а не о его решении. Однако в таком случае функция представляет собой решение уравнения (1), против чего не может быть возражений. И, вместе с тем, принципиальные возражения вызывают собственно процедуры нахождения посредством решения некорректной задачи (1). Исключительно в рамках нее самой, следует подчеркнуть.

и отмечают, что зачастую такие решения, будучи совершенно неприемлемыми, в виде «пилы», при подстановке в уравнение (1) дают вполне удовлетворительную невязку. Причем, если повышать, казалось бы, точность вычислений за счет уменьшения шага дискретизации, или же большего количества членов ряда, представляющего функцию , то амплитуда пилы возрастает [3, с. 224].

Что в этой связи подразумевает название статьи? Пусть мы имеем, вообще говоря, абстрактного характера математический объект, в котором содержится функция , предположительно из уравнения (1), и еще какие-то функции, обозначенные как :

(2)

играет роль свободного члена, являясь данным.

Допустим, что процедура определения из этого уравнения – конструктивна. Тогда есть основания надеяться, что прибавление к (2) нуля из (1), а именно:

(3)

не изменит благоприятного сценария в отношении нахождения . В самом деле, интегральный оператор «грозен», скажем так, лишь находясь в своеобразной «изоляции» уравнения (1).

Напротив, будучи сопряжен с оператором тождественного преобразования , который, конечно, видится нам в структуре (см. п. 1), оператор не нарушает позитивных свойств интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Таким образом, уравнение (1), можно сказать и так, «встраивается» в объект (2). В общем, эффективный алгоритм определения функции , удовлетворяющей одновременно уравнениям (2) и (3), равнозначен решению исходной задачи (1).

Т. е., имеется в виду совсем не подстановка предполагаемого решения в уравнение (1), а косвенный, скажем так, способ его удовлетворения, когда, вычитая из (3) уравнение (2), мы получаем (1). Но как добиться, чтобы уравнению (3) и одновременно ему, но в укороченном варианте (2), удовлетворяла одна и та же функция ? Ответу на этот вопрос посвящены последующие преобразования (пп. 4-8).

Приведенные соображения, в общем, олицетворяют концептуальную основу работы [4]. Развит вариант практической реализации заложенного в ней алгоритма, сводящийся к рекуррентной реализации интегральных уравнений Фредгольма второго рода [5]. * При этом техника производимых преобразований в значительной мере базируется на свойствах интеграла Пуассона и гармонического ряда, в пределе переходящего в ряд Фурье.