Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 3 )

3. Резольвенты ядра . Решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядром (14):

	(15)
	(16)

(здесь, в отличие от (8), свободный член – абстрактный) имеют вид:

	(17)
	(18)

где, учитывая (13), резольвенты [2, с. 151]:

(19)

На интервале в структуре ядра (14) характеристические числа и ортонормированные собственные функции будут такими:

(20)

соответственно решение абстрактного уравнения:

(21)

определяется аналогично (17), (18), т. е.:

(22)

где, с использованием (20), резольвента

(23)

Очевидно, условия разрешимости уравнений (15), (16) и (21) имеют вид соответственно:

	(24)
	(25)

см. (19), (23). Заметим, что подстановка выражений (14) и (19), (23) в интегральное и интегро-дифференциальное уравнения резольвенты [7, с. 60] обращает их в тождества. Это свидетельствует о достоверности построения резольвент, из которых вытекают условия (24), (25).

4. Расширенный интервал. Уравнение (4) распространим на интервал как:

(26)

где – еще одна неизвестная функция. При этом его часть:

(27)

может, формально, рассматриваться в качестве интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно функции . В таком случае – играет роль свободного члена этого уравнения.

Очевидно, мы можем исключить из уравнения (27), подставив на место функцию

(28)

см. (6), (17). Используя (28), в преломлении к уравнению (26) на интервале , получаем:

(29)

где – новая неизвестная функция (заменившая ).

Можно сказать и так, что посредством функций , происходит своего рода «перетекание» компоненты свободного члена , уравнения (26), в его аналог . Почему именно так названа данная процедура? Суть в том, что функцию ее реализация не затрагивает. Функция осталась неизменной.

Мы могли бы конструктивно выразить через функцию , используя (28), (29), а также обращение оператора в уравнении (26), однако в этом нет необходимости (вплоть до изложения п. 10). Резюмируя (27) – (29), приходим к аналогу уравнения (26):

(30)

5. Встраивание некорректной задачи. Что же, из эвристических соображений, уравнения как (26), так и (30) весьма привлекательны тем, что все функции, которые в них задействованы, присутствуют не только под знаком интеграла, но и в явном виде. В самом деле, налицо разительный контраст с некорректностью исходного уравнения (1) (наконец-то мы «вспомнили» и о нем). Но, наряду с этим, какие-либо перспективы решения системы уравнений (26), (30) отсутствуют, поскольку они не содержат свободных членов, которые были бы даны. Как трактовать сложившуюся ситуацию?

Суть в том, что упомянутые уравнения не имеют самостоятельной значимости, они представляют своего рода «футляр» (его аналогом является оператор из (2)) для помещения в него некорректной задачи (1). Сделать это нужно следующим образом:

(31)

где – параметр, о выборе которого скажем ниже, п. 11.3. По существу, это уравнение представляет собой аналог (3), с его параметром .

6. Интегральное уравнение задачи. Учитывая (5), (6), мы можем рассматривать (31) как интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функций , . В таком смысле и – компоненты свободного члена. Формально представим уравнение:

(32)

вычитая его из (31), получаем:

(33)

С использованием обозначений:

(34)

уравнение (33) приобретает вид:

(35)

Посредством обращения в (35) оператора , см. (21), (22), учитывая (1) и (23), приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, а также определяемому через его решение выражению: