Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 6 )

Дальнейший порядок действий на основе уравнения (31), : подстановка функции в (53); определение в левой части посредством обращения оператора в уравнении (26); определение функций , в правой части, с помощью аналогичного обращения, из уравнения (30); решение полученного уравнения Фредгольма второго рода одним из численных методов.

Что же, очень громоздкий алгоритм. И, тем не менее, в принципе, поставленная задача разрешима. Можно ли относительно функции построить интегральное уравнение Фредгольма второго рода, поскольку, зная ее, мы также легко нашли бы функцию , которая удовлетворяет уравнению (1)? На самом деле, ситуация здесь является очень интересной. Мы рассмотрим ее отдельно, п. 11.4.

11. Пояснительные соображения

11.1. Универсальность ядра . Пожалуй, название настоящего подраздела в полной мере передает его смысл. Нет нужного нам качества, которым бы ядро не обладало, см. пп. 2, 3. Нет также показателя, по которому оно хотя бы в чем-то уступало ядру, также являющемуся замкнутым. В самом деле, не существует собственных функций проще, чем (13), (20). Также предельно элементарны указанные здесь характеристические числа, тогда как в альтернативной интерпретации они зачастую находятся путем решения трансцендентных уравнений [6, п. 10].

11.2. Оператор Вольтерра. Что произойдет, если в качестве , см. (5), (6), использовать оператор вольтеррового типа. Например,

(55)

поскольку очень привлекательна простая формула обращения:

(56)

[12, с. 108]. Предполагается, что функция , , играет роль в (4).

Однако, в таком случае данное равенство, учитывая (55), можно представить следующим образом:

(57)

где константа. Столь жесткое ограничение класса функций, в котором может находиться , является совершенно неприемлемым.

Если же представить ядро оператора (55) в виде некоторого ряда, его коэффициенты нужно будет «проводить» сквозь алгоритм решения задачи. Однако, в силу структуры соответствующего аналога (57) мы столкнемся с неустойчивостью численной реализации. Едва ли стоит говорить о том, что преимущество оператора (55), а именно – компактность решения (56), утрачивается. В общем, неэффективен данный оператор в контексте преобразований пп. 2-8.

11.3. Выбор параметров и . В уравнениях (31) – (33) и (35) параметр выглядит вполне логичным; это – множитель нуля: , проистекающего из (1). Однако в отношении уравнения (36) возникает вопрос – каким образом его решение зависит от параметра ? Вместе с тем, это уравнение является достаточно специфичным, поскольку как его интегральная компонента, так и свободный член имеют в качестве множителя параметр , см. (39).

Уравнение (36) представим в виде:

(58)

где, учитывая (39), свободный член *

(59)

и аналогично [13, п. 6] примем функцию .

В таком случае (58) приобретает канонический вид интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

(60)

где функция определяется выражением (59). Что же, теперь все преобразования, в которых участвовала функция , нужно повторить, заменив ее .

Однако решение уравнения (60), в общем случае, не является пропорциональным (см., например, [7, п. 1.9]). Значит, функция будет зависеть от параметра . Из (37), (46) следует, что функция также зависит от данного параметра.

На основании (47), (48) мы приходим к выводу, что от него зависит и решение исходного уравнения (1), функция . Это является противоречием. В самом деле, параметр не имеет отношения к постановке задачи (1). Разрешением данного противоречия может быть лишь следующий вариант: уравнения (58) и (60) тождественны, иначе говоря, и параметр . Заметим, приведенные соображения аналогичны [13, п. 8].

Из уравнения (7), имеющего свободный член (8), вытекает, что параметр может быть практически произвольным. Как отмечалось (п. 2), решение данного уравнения Фредгольма первого рода следует понимать в смысле существования удовлетворяющей ему функции , тогда как решение исходной задачи, а именно из (8) трактуется в качестве функции данной.

Иначе говоря, функция находится в зависимости исключительно от параметра . При этом, конечно, , а также должны быть выполнены условия (24), (25). И, наконец, весьма существенный момент, выходящий за пределы непосредственно уравнения (7), заключается в следующем. Параметр должен быть таким, чтобы решение уравнения (41) являлось тривиальным, в условиях .

11.4. Переадресация некорректности. Определяя функцию , посредством обращения в уравнениях (26) и (30), получаем

(61)

см. (21), (22). Вычитание из (26) уравнения (30) дает:

(62)

где

(63)

Очевидно, (61) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции . Поэтому ее можно выразить через интеграл с функцией , в правой части (61), конструктивно. Обращение оператора в уравнении (30) позволяет выразить через тот же интеграл функцию . После этого также через интеграл от функции по формуле (63) выражается . Относительно функции , (62) – интегральное уравнение Фредгольма второго рода.