Определение функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода, на основе решения специально сконструированного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (с дополнением)* (стр. 4 )

(36)

(о реализации данного уравнения скажем ниже, п. 7);

	(37)

учитывая (36), вследствие чего вычисления заметно упрощаются. В этой связи см. также п. 11.3, где устанавливается весьма важное обстоятельство, а именно, – параметр . Однако, в настоящем использовать его не будем.

Ядро и свободный член уравнения (36) имеют вид:

	(38)
	(39)

Таким образом, вычисление функции , из (34), с использованием данных исходной задачи , , сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода (36). Посредством функция находится по формуле (37). Заметим, что преобразование уравнения (32) к виду (36) было бы совершенно аналогичным. Вместе с тем, на данном этапе, с вычислительной точки зрения, оно является излишним.

7. Определение функции . Конечно параметр , присутствующий в (37) – (39), должен удовлетворять условиям (24) и (25). Предположим в этой связи, что он каким-то образом конкретизирован. В таком случае решение уравнения (36) можно найти одним из приближенных методов, которые достаточно эффективны [3, п. 3].

В силу структуры выражений (38), (39), наиболее предпочтительны здесь, очевидно, процедуры типа Бубнова – Галеркина, когда решение ищется в виде ряда

(40)

коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений с выраженной диагональю. Действительно, подстановка ряда (40) в (38), (39) позволяет представить упомянутые коэффициенты в аналитическом виде. Здесь определяющую роль играет ортогональность элементов (40) членам рядов (38), (39).

Очевидно, параметр должен быть отличным от характеристических чисел однородного уравнения

(41)

аналогично ситуации (11). Методы вычисления характеристических чисел данного уравнения хорошо освоены, однако, в первую очередь, для случая, когда ядро является симметричным, см., в частности [3, п. 3.7]. Такого свойства от ядра из (38), а соответственно и из (41), в общем случае ожидать не приходится.

Известно, как привести (36), или же (41), к интегральному уравнению с симметричным ядром, которое, однако, оказывается линейно зависящим от параметра (хотя бы и равного единице), что может встречать определенные осложнения [2, п. 3.16].

Поэтому наиболее целесообразна в данном случае дискретизация (41) путем подстановки в качестве ряда, аналогичного (40). После этого характеристические числа могут быть определены с помощью эффективного QR-алгоритма для несимметричных матриц. [8, п. 4].

Однако, параметров неограниченное множество, а значит, каждому из них будет отвечать «свое» решение уравнения (36), а также – и функция (37). Если произвол в выборе величины можно объяснить ее участием во всех преобразованиях и соответственно результаты вычислений компенсируются, то параметр как бы «привязан» к одному объекту, а именно уравнению (36).

Его решение, очевидно, будет зависеть от параметра . Наряду с чем, в преобразованиях (37) множитель сокращается (существенный момент). Мы приведем соответствующие пояснения ниже, в заключительном разделе статьи, п. 11.3.

8. Решение исходной задачи. Итак, функция в правой части (30) была получена посредством процедуры «перетекания» в нее из (26), см. п. 4. Одновременно и «перетекла» (превратилась) в функцию , см. (28). Функция в этом не участвовала, оставаясь неизменной, что также отмечалось. Используя (34), представим уравнение (30) в виде:

(42)

с целью, напротив, – реализации процедуры обратного «перетекания» – к функции и уравнению (26). Иначе говоря, нам хотелось бы исключить функцию из уравнения (30), а соответственно и (42), аналогично предыдущему, т. е. за счет одной лишь функции .

Преобразованное, таким образом, уравнение (42) к виду (26), учитывая (34), представим как:

(43)

в (42) исключились и , тогда как в уравнении (43) появилась функция .

Собственно говоря, (43) представляет собой уравнение (26), только лишь, можно сказать и так, использованы другие обозначения. Что же за этим кроется? Ответ таков: ключевой момент производимых преобразований.

В самом деле, вычитая из (26) уравнение (43), с учетом (5), (6), получаем:

	(44)
	(45)

откуда следует, что: *

(46)

где – функция, определяемая через – решение уравнения (36), по формуле (37). Что же, получение (44), (45) и, наконец, совсем неочевидного, изначально, соотношения (46), практически завершает решение рассматриваемой задачи.

В самом деле, уравнение (4), или же (26), на интервале , представим как: