Таким образом, есть точка разрыва второго рода. Вычислим еще пределы функции на бесконечности:

1. .

2. .


Объединяя полученные результаты, сделаем схематический чертеж графика функции:

Задача 3. Задана функция

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции, если они существуют, сделать схематический чертеж.

Решение. Функция задана тремя правилами: на интервале функция ; на интервале функция и, наконец, на интервале – . Так как в каждом из этих интервалов является элементарной функцией, то по теореме о непрерывности элементарных функций она непрерывна во всех точках этих интервалов. Нарушение непрерывности (разрывы) y функции могут быть лишь в местах «склейки» правил, то есть в точках и . Исследуем эти точки на непрерывность.

а) ; найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке; сравним, далее эти величины

,

,

.

Так как пределы функции слева и справа существуют, но равны различным величинам (не совпадают), то – точка разрыва функции первого рода (разрыв – «скачок»).

б) ; вычисления односторонних пределов дают здесь следующие результаты:

,

,

.

Так как односторонние пределы и значение функции в данной точке совпадают (равны между собой), то функция непрерывна в точке . Изобразим это на чертеже:


Задача 4. Найти производные для функций в примерах а), б), в), г); и для явно и параметрически заданных функций в примерах д), е).

а) г) ;

б) ; д) ;

в) ; е)

Решение. Воспользуемся формулами для производных основных элементарных функций и следующими правилами для дифференцируемых функций :

; ; ; ; .(при условии существования производной в соответствующей точке).

Как правило, требуется продифференцировать сложную функцию, а потому особую роль играет умение записать сложную функцию в виде композиции (суперпозиции) элементарных функций. Так сложная функция рассматривается как композиция и двух функций и : , при этом – внешняя функция, а – внутренняя.

Применение правила V для дифференцирования функции, являющейся композицией большего числа функций, чем два, рассмотрим на следующем примере. «Трижды сложную» функцию представим как композицию двух функций: основной элементарной функции (внешняя функция) и сложной функции (внутренняя функция), то есть , по правилу V: В итоге получается цепочка. При достижении известного навыка промежуточные звенья цепочки можно не записывать и писать сразу: . Последняя формула обобщается на композицию произвольного конечного числа функций.

Итак, практически для дифференцирования сложной функции – композиции произвольного числа функций – используется алгоритм, состоящий из последовательности шагов, на каждом из которых выполняются следующие однотипные операции: 1) сложная функция представляется в виде композиции двух функций, при этом внешняя функция обязательно «должна быть» основной элементарной функцией; 2) применяется правило V.

Решим примеры.

а) [применим последовательно правила II, IV, I] =

= [сложные функции и представим в виде композиции функций , и , ; тогда , ] .

б) [сложную функцию представим композицией функций и , и применим правило V: ] =

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5