Методические указания к контрольной работе №1. «Дифференциальное исчисление функции действительного переменного» (стр. 3 )

[ сложную функцию представим, в свою очередь, композицией функций и , и по правилу V: ] .

Замечание. Можно было рассматривать функцию как «трижды сложную», то есть как композицию трех функций , , , и применить обобщение правила V на композицию любого числа функций:

.

Выбор способа решения оставляется за студентом.

в) . Имеем показательно-степенную функцию с основанием и показателем . Ни одно из правил I-V в данном случае неприменимо. Использование равенства позволяет представить заданную показательно-степенную функцию как сложную, и воспользоваться при дифференцировании ее правилом V:

.

[ , , ] =

= = [ по правилу III] = [сложную функцию представим композицией функций , , а функцию – композицией функций , ; тогда , ]

.

г) . Функция задана неявно вышеуказанным уравнением, которое можно преобразовать к виду . Считая данное уравнение тождеством по , то есть, что в этом уравнении , дифференцируем его по : . Применяя правило дифференцирования сложной функции к композициям функций , и , , получим:

.

Применяя правила IV, II и, учитывая, что – сложная функция, имеем – алгебраическое уравнение относительно ; решая его, найдем – производную неявной функции y:

, .

д) , = [ – «трижды сложная функция:

, ; тогда ] =

; итак, производная .

Замечание. Прежде, чем находить , рекомендуется производную привести к наиболее простому виду.

Найдем : [функция есть композиция трех функций: , , ; производная ] = .

Ответ: , .

е) , . Для параметрически заданной функции имеем: . = [ функция – композиция функций , , и ] ,

; итак, , ,

.

Для нахождения имеем формулу и потому

.

Ответ. , , .