Методические указания к контрольной работе №1. «Дифференциальное исчисление функции действительного переменного» (стр. 1 )

Методические указания к контрольной работе №1.

«Дифференциальное исчисление функции действительного переменного»

Номера задач методического руководства соответствуют номерам задач контрольной работы.

Задача 1. В задаче требуется найти пределы функций непрерывного аргумента, не пользуясь правилом Лопиталя. Каждый вариант содержит четыре примера.

а) Вычислить предел:

В данном случае имеем неопределенность вида . Преобразуем многочлены в числителе и знаменателе, для этого вынесем за скобки и на сократим:

так как величины , , , являются бесконечно малыми:

, и т. д.,

числитель преобразованной дроби стремится к 7, а знаменатель к 21. Таким образом, .

Замечание. При вычислении аналогичных пределов учитывают, что поведение многочлена на бесконечности определяется старшей степенью , а остальными членами можно пренебречь.

Так вычисление данного предела можно представить следующим образом:

.

б) Вычислить предел:

при подстановке предельного значения в числитель и знаменатель дроби получим неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, нужно избавиться от радикалов в числителе и знаменателе (точнее, от их разности). Чтобы избавиться от разности радикалов в числителе, умножим числитель и знаменатель отношения на выражение, сопряженное числителю; одновременно аналогичным способом избавимся от разности радикалов, стоящей в знаменателе:

.

в) Приведем пример вычисления предела с использованием первого замечательного предела. Найти предел:

.

Имеем неопределенность вида . Наличие бесконечно малых тригонометрических функций «подсказывает» обратиться к первому замечательному пределу:

.

Разделим числитель и знаменатель на и перейдем, по теореме о пределе произведения, к пределам сомножителей:

Осуществим замену переменных: при и:

сделаем еще одну замену переменных: ; при и

.

Замечание. При вычислении пределов, подобных приведенному выше, удобно использовать эквивалентные бесконечно малые величины по теореме:

Теорема. Если – бесконечно малые функции при и , то

.

Так при :, , .

При функции , поэтому

.

г) Приведем пример, в котором при решении используется второй замечательный предел:

. (*)

Вычислить предел:

Перейдем к пределу в основании и показателе степени:

, .

– в данном примере имеем неопределенность вида – то есть нельзя переходить к пределам в основании и показателе степени.

Чтобы раскрыть неопределенность указанного вида, «выделим» в примере второй замечательный предел, «скопировав» его конструкцию с представления в виде (*):

.

Далее, возведем выражение, стоящее в круглых скобках, в степень и из полученного выражения извлечем корень с таким же показателем; перейдем, далее, к пределам в основании и показателе:

.

Задача 2. Задана функция и два значения аргумента: и . Требуется:

1.  Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2.  В случае разрыва функции установить тип точки разрыва;

3.  Найти пределы функции при и ;

4.  Сделать схематический чертеж.

Решение. Область определения функции есть множество всех действительных значений , кроме . Данная функция – элементарная функция, исследование ее непрерывности проводится по теореме: элементарная функция непрерывна всюду, где она определена. Из этой теоремы следует, что в точке с абсциссой данная функция непрерывна. В точке с абсциссой функция не определена и, следовательно, теряет непрерывность. Установим тип точки разрыва. Найдем пределы слева и справа в точке разрыва :

1. .

2. .