Методические указания к контрольной работе №1. «Дифференциальное исчисление функции действительного переменного» (стр. 5 )

в) Критические точки , , и разбивают область существования функции на пять интервалов: , , , . Чтобы определить знак производной в каждом из указанных интервалов (и тем самым решить вопрос о возрастании или убывании функции в интервале), выберем в первом интервале точку , во втором – точку , в третьем – точку , в четвертом – точку , в пятом точку и вычислим значение производной в этих точках; получим , , , , . Если производная () во всех точках интервала, то функция возрастет (убывает) в этом интервале. Составим таблицу.

x				–1		0
	+	0	–	не сущ.	+	0	–	0	–
y		max		не сущ.		0 max		min

Итак, функция возрастает в интервалах , , и убывает в интервалах , .

Находим экстремумы функции. Так как при переходе через точку и слева направо производная меняет знак с «+» на «–», то в точках , функция имеет максимумы:

При переходе через точку слева направо производная меняет знак с «–» на «+», поэтому в точке функция имеет минимум:

В точке функция не определена; поэтому, хотя производная и меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

30. Исследуем функцию по второй производной. а) Находим .

.

б) Находим критические точки второго рода – точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из условия следует ; отсюда . Не существует в точке , но в этой точке не существуют также и .

в) Критические точки и разбивают область существования функции на интервалы , , . Чтобы определить знаки в этих интервалах, выбираем в первом интервале точку , во втором – точку , в третьем – точку и вычисляем в этих точках; в результате имеем: , , . Кроме того, .

Составим таблицу значений второй производной исследуемой функции:

x
	–	не существует	–	0	+
y	Ç	не существует	Ç	–1/45	È

В интервалах , отрицательная и, следовательно, функция, выпукла, а в интервале вторая производная положительна и функция вогнута.

При переходе через точку меняет знак, следовательно, – точка перегиба графика функции. Других точек перегиба нет.

40. Строим график функции.