Методические указания к контрольной работе №1. «Дифференциальное исчисление функции действительного переменного» (стр. 4 )

Задача 5. Найти пределы, используя правило Лопиталя-Бернулли:

а) ; б) .

Решение. Правило Лопиталя-Бернулли (правило Л.-Б.) применяется для раскрытия неопределенностей типа или и формулируется следующим образом: если существует (конечный или бесконечный, равный + ¥ или – ¥) предел , то существует и предел . Практически это означает, что правило Л.-Б. применяется для отыскания предела отношения типа или , когда «не работает» теорема о пределе частного, а применение «замечательных пределов» или теоремы о замене бесконечно малых (бесконечно больших) функций эквивалентными им функциями приводит к громоздким вычислениям.

а) , поэтому имеем неопределенность типа [ и снова неопределенность ; применим правило Л.-Б.]

б) ; имеем неопределенность вида применим формулу = [неопределенность сведем к неопределенности и применим правило Л.-Б.] =

.

Задача 6. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение. Схема полного исследования содержит четыре пункта:

10. В этом пункте надлежит ответить на следующие вопросы: а) найти область определения функции; б) определить вид функции: четная, нечетная, периодическая или общего вида; в) найти точки пересечения графика функции с осями координат; г) выяснить поведение функции на бесконечности, если функция задана на бесконечном промежутке; д) установить наличие вертикальных и наклонных асимптот.

20. Здесь проводят исследование с помощью первой производной : а) находится ; б) определяются критические точки первого рода; в) определяются интервалы монотонности функции и её экстремальные значения. Полученные результаты оформляются в виде таблицы.

30. В данном пункте исследование проводится с помощью второй производной : а) находится; б) определяются критические точки второго рода; в) находятся интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Результаты исследования оформляются таблицей.

40. Строится график функции , учитывая результаты, полученные в пунктах 10 – 30.

Переходим теперь к исследованию данной функции по указанной схеме.

10. а) Областью определения функции является вся числовая ось за исключением точки , то есть .

б) – то есть функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической, ибо не существует такого числа Т (за исключением нуля), чтобы выполнялось условие .

в) Находим точки пересечения графика функции с осями координат. Из условия следует или , отсюда получаем , , то есть с осью Ох график пересекается в точках и . Из условия следует , то есть снова получили точку пересечения графика функции с осью Oy.

г) .

д) Асимптоты графика функции.

1) Точка есть точка разрыва функции; установим тип разрыва в ней:

– разрыв второго рода, то есть – вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты: : где =

; .

Аналогично получаем при : , .

Итак, существует наклонная асимптота при и при .

20. Исследуем функцию по первой производной. а) Находим производную:

.

б) Находим точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует. Из условия следует , отсюда получаем , , . Производная не существует в точке (но в этой точке не существует и сама функция).