Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 2 )

9. Интегрирование рациональных дробей.

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

10. Метод неопределенных коэффициентов.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей.

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод неопределенных коэффициентов:

1.В правой части равенства приведем все к общему знаменателю Q(x), в результате получим , где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны и числители.

3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты.

11. Интегрирование иррациональных функций.

1. можно найти выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку . Тогда первые два сводятся к табличным, третий – к сумме двух табличных интегралов.

2. подстановкой сводятся к виду 1.

3. для нахождения коэффициентов в продифференцируем равенство. Получим . А теперь просто приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.

4. интегрируются подстановкой , где

5. интегрируются подстановкой , где

6. . Выделяем полный квадрат, подставляем , приводим к виду , которые решаются через соответствующие тригонометрические подстановки.

12. Интегрирование иррациональных функций: подстановки Чебышева.

Дифференциальный бином: , где

1.  Пусть

, тогда развертывается по формуле бинома Ньтона

, тогда делается подстановка , где k=HOK(знаменатели m, n)

2.  Пусть

Если , делаем подстановку , где - знаменатель

3.  Пусть , ,

Если , делаем подстановку , где - знаменатель дроби

В противном случае интеграл не выражается через элементарные функции.

13. Интегрирование тригонометрических функций.

сводится к вычислению интеграла от рациональной функции универсальной тригонометрической подстановкой

Тогда имеем

1.  Если

2.  Если

3.  Если

Интегралы типа

1.  если n – нечетное

2.  если m – нечетное

3.  если m+n – четное

4.  Если m и n – целые неотрицательные четные, понижаем порядок

Замечание: применяется также при , где n – целое положительное.

Замечание 2: Рябцев давал положения подстановки 1-3 по аналогии с Чебышовым ()

Интегралы типа упрощаются известными формулами тригонометрии

14. Специальные приемы интегрирования тригонометрических функций.

1.

Представим

2.

Представим

3.

Представим

4.

15. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных функций.

1.  делаем подстановку или

2.  делаем подстановку или

3.  делаем подстановку или

16. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.

Несобственный интеграл- определенный интегралом непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования(I-ого рода)или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющий на нём бесконечный разрыв.