Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 5 )

Th. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные, причем (обратное неверно)

Доказательство:

Т. к. функция дифференцируема в М, то , функция непрерывна в М. Положим , тогда

при

Для функции n переменных

26. Дифференцирование сложных функций.

Если - дифференцируемая в точке функция и - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции вычисляется по формуле .

Дадим независимой переменной t приращение , тогда получат приращения , которые вызовут . По условию функция дифференцируема в М, поэтому , где . Разделим на и перейдем к пределу при , тогда в силу непрерывности (т. к. дифференцируемы по условию).

Частный случай

27. Дифференцирование неявных функций.

Пусть функция задана неявно, уравнением . Подставим вместо z f(x, y), получим тождество

28. Производная в данном направлении и градиент функции.

Def. производной по направлению S называется

Градиент функции.

В каждой точки области D, в которой задана определим вектор , проекции которого совпадают с частными производными.

Теорема о связи градиента и производной по направлению.

Следствие 1. Производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если направление совпадает с направлением градиента.

Следствие 2. Производная в данной точке по направлению равна нулю.

29. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть функция дифференцируема в точке некоторой области . Рассечем поверхность S плоскостями . Плоскость пересекает S по линии , уравнение которой получаем подстановкой . . В силу дифференцируемости в точке M0 функция дифференцируема также и в , поэтому в этой точке в плоскости к кривой можно провести касательную . Аналогично для . Касательные определяют касательную плоскость, её уравнение: или

Найдем . Уравнения касательных имеют вид:

Т. к. касательная l1 лежит в плоскости, координаты ее точек удовлетворяют уравнению.

Отсюда имеем , аналогично для касательной l2. Таким образом, уравнение плоскости принимает вид

Прямая, проходящая через М0 и перпендикулярная касательной плоскости называется нормалью. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости имеем уравнение нормали:

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной принимает вид , а уравнение нормали .

30. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (без вывода).

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до n+1 порядка включительно, то для любой точки из окрестности справедлива Тейлора n-го порядка:

,

где

Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена

31. Экстремум функции нескольких переменных.

Пусть функция определена в области D, точка .

Точка называется точкой максимума, если существует такая -окрестность точки, что для каждой точки (x, y), отличной от (x0,y0), из этой окрестности выполняется . Аналогично для минимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется соответственно максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум называют экстремумами. Они имеют локальный характер.

Th. Необходимые условия экстремума. Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю.

Зафиксируем . Имеем , которая имеет экстремум при . Следовательно, . Аналогично для