Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 4 )

Th.3 Перенесение модуля опр. интеграла под модуль интегрируемой функции

Th.4 Оценка определенного интеграла на m и M

Th.5 Теорема о среднем.

19. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Th.

Интегрирование по частям.

20. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка такая, что

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где

Применим теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим

Число называется средним значением функции на отрезке [a, b]

21. Площади плоских фигур. Длина дуги кривой.

1.1 Площадь фигуры в прямоугольных координатах.

для криволинейной трапеции, ограниченной f(x) и осью Ox

для фигуры, ограниченной сверху f1(x), а снизу f2(x)

для функций в духе синуса.

1.2 Площадь фигуры, заданной параметрически

1.3 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Сектор ограничен непрерывной линией и двумя лучами

2.1 Длина дуги в прямоугольных координатах

2.2 Длина дуги, заданной параметрически

2.3 Длина дуги в полярных координатах

22. Объемы тел

1.Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

1.1 Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную Ох. Обозначим площадь сечения тела этой плоскостью S(x). Считаем ее известной и непрерывно изменяющейся. Через v(x) обозначим объем тела левее плоскости, на отрезке [a, x] он является функцией x.

1.2 найдем дифференциал dV функции v=v(x). Это элементарный слой, заключенный между плоскостями x и , то есть цилиндр площадью S(x) высотой dx,

1.3

2. Объем тела вращения.

Пусть вокруг Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная . Сечение этой фигуры – круг радиуса , следовательно

23. Приближенное значение определенного интеграла.

1. Метод прямоугольников.

(1)  и (1') – формула прямоугольников

2. Формула трапеций.

3. Формула парабол (формула Симпсона)

Лемма Площадь трапеции, ограниченной параболой

24. Функции нескольких переменных: предел функции, непрерывность, частные производные.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x, y). Соответствие f, которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в , и записывается в виде или

Предел функции.

Непрерывность.

- непрерывна в

1)  функция определена в самой точке и вблизи нее

2)  существует предел при произвольным образом

3)  предел функции существует

функция, непрерывная в каждой точке области, непрерывна на всей области

Частные производная.

- частная производная первого порядка

- частная производная второго порядка

- смешанная ЧП второго порядка

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Докажем для производных второго порядка.

Рассмотрим

25. Полный дифференциал функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , где при . Первые два слагаемых – главная часть приращения функции. Главная часть приращения функции , линейная относительно , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом : . Частные дифференциалы для независимых переменных полагаются , поэтому