Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 6 )

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна ЧП не существует.

Точки, где , называются стационарными. Стационарные точки и точки, где хотя бы одна ЧП не существует, называются критическими.

Th. Достаточное условие экстремума. Пусть в стационарной точке и ее некоторой окрестности функция имеет непрерывные ЧП до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим . Тогда:

1.  если , то функция в точке имеет экстремум, если , то максимум, если , то минимум

2.  если , то экстремума в точке нет

3.  если , то необходимы дополнительные исследования.

32. Отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются либо внутри области , либо на границе.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения дифференцируемой о области функции выглядит так:

1.  Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.

3.  Сравнить все найденные значения функции и выбрать M и m.\

33. Числовой ряд: основные понятия. Расходимость гармонического ряда.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

(назовем его ряд 1) где — действительные или комплексные числа,

называемые членами ряда, — общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т. е. . если существует конечный предел S=последовательности частичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают S=, если не существует или то ряд называют расходящимся.

Необходимый признак сходимости:

Свойство 1. Если ряд 1 сходится и его сумма равна S, то ряд также сходится и его сумма равна cS. Доказывается элементарно. Если ряд 1 расходится, то и этот ряд расходится. Доказывается от противного.

Свойство 2. Если ряд 1 сходится и ряд , то сходятся и ряды , причем их суммы равны .

Свойство 3. Если к ряду 1 прибавить или отбросить конечное число членов, то ряд 1 и полученный ряд сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим сумму отброшенных членов S, максимальный номер k. Отброшенные члены примем равными нулю. При n>k , , т. е. пределы либо одновременно существуют, либо одновременно не существуют.

Достаточное условие расходимости ряда. Если или не существует, то ряд расходится.

Рассмотрим гармонический ряд . , однако ряд расходится. Покажем это.

, поэтому при любом Подставим

Сложим их, получим . Т. к. , т. е. гармонический ряд расходится.

34. Признаки сравнения сходимости числового ряда.

1. Пусть даны 2 знакоположительных ряда . Если все , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого, из расходимости первого следует расходимость второго.

. Пусть ряд 2 сходится, имеет сумму S2. . Т. о. последовательность монотонно возрастает и ограничена , т. е. ряд сходится.

Пусть теперь ряд 1 расходится. Тогда , т. е. ряд 2 расходится.

2. Предельный признак сравнения. Пусть даны 2 знакоположительных ряда, если существует конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

По определению предела для всех n, кроме может быть конечного их числа, справедливо или . Если ряд 1 сходится, то сходится и ряд . Тогда по свойству 1 сходится и ряд 2.

Если ряд 1 расходится, то расходится и ряд , тогда по свойству расходится и ряд 2. Если сходится-расходится ряд 2, то все аналогично.

35. Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами существует конечный или бесконечный предел тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость ряда сказать нельзя.

Доказательство: так как предел существует, то

при l<1 подберем : т. е. следовательно => т. е. каждый член исходного ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии. По признаку сравнения так как геометрическая прогрессия с сходится то сходится и исходный ряд.

при l>1 имеем: начиная с некоторого N выполняется , т. е. un бесконечно возрастает, т. е. , следовательно ряд расходится.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит .

36. Признак Коши.

Дан ряд с положительными членами. Если существует конечный предел

Доказательство.

А)

Составим новый ряд

Каждый член ряда (1') меньше членов ряда представленной бесконечно убывающей ГП, по признаку сравнения (1') сходится, тогда по свойству сходящихся рядов (1) тоже сходится.

Б)Пусть расходится.

37. Интегральный признак сходимости.

Если члены знакоположительного ряда (2) могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+∞) функции f(x) так, что u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, то если сходится (расходится) интеграл сходится, то сходится(расходится) и ряд (2)

Доказательство:

рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ox от x=1 до x=n, строим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки[1;2], [2;3] … [n-1;n] … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

Или т. е.

Случай когда несобственный интеграл =A> сходится, то получаем так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху числом (A+u1), то по признаку существования придела имеет придел следовательно ряд сходится.

Пусть - сходится, тогда . Частная сумма Sn ограничена, но вместе с тем возрастает. Если интеграл расходится, то сумма возрастает неограниченно.

Замечание: вместо интеграла можно брать где k >1

Ряд называется обобщенным гармоническим рядом.

, т. о. ряд расходится при , сходится при .

38. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Признак сходимости знакопеременных рядов.

Ряд вида называется знакочередующимся.

Признак Лейбница – достаточный. Знакопеременный ряд сходится, если последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает и предел общего члена равен нулю. При этом сумма S удовлетворяет

Пусть

, ряд сходится при четных и нечетных n.

Замечание: при подсчете суммы знакочередующегося ряда погрешность получаемая отбрасыванием n+1 члена не превосходит его по величине. Доказательство очевидно – отбрасываемый ряд подчиняется теореме Лейбница.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и положительные величины.

Достаточный признак сходимости.

Дан знакопеременный ряд (1). Если ряд (2) сходится, то сходится и исходный ряд.

, ч. т.д.

Следует отметить, что доказанная теорема является только достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов, но не необходимым. Существуют ряды, которые сами сходятся, а ряды из абсолютных величин их членов не сходятся.