Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 3 )

Несобственные интегралы 1-ого рода (с бесконечными промежутком интегрирования)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;+∞]. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и записывают как:.

Если = то говорят, что интеграл сходится, если же предела не существует либо он бесконечен, то интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл =

Несобственный интеграл с двумя бесконечными формулами определяется формулой:

=+

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения. Если на промежутке [a;+∞] непрерывные функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость

2. Если существует предел (f(x)>0 и g(x)>0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный придел то его называют несобственным интегралом второго рода и записывают как: т. е. =

Если предел существует, то интеграл сходится, если не существует или бесконечен, то расходится.

Аналогично, если функция терпит разрыв в точке x=a, то полагают = Если же функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Признаки сходимости:

1. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию . Из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости расходимость .

2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует придел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

17. Интеграл с переменным верхним пределом.

Th.1

Th.2 Теорема Барроу.

Замечание:

Следствие: всякая непрерывная f(x) имеет первообразную. Действительно, если f(x) непрерывна на [a, x], то существует, т. е. существует , которая по доказанному является первообразной.

Th.3 Формула Ньютона-Лейбница.

Если F(x) – первообразная f(x), то

2 любые первообразные отличаются на константу.

, ч. т.д.

18. Определенный интеграл как предел суммы и его свойства.

Пусть функция определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок на n частичных отрезков [x0;x1],[x1;x2],…,[xn-1;xn].

mi – наименьшее значение функции на i-том отрезке

Mi – наибольшее значение функции на i-том отрезке

m – наименьшее значение функции на [a, b]

M – наибольшее значение функции на [a, b]

Составим нижнюю интегральную сумму: , где - длина i-того отрезка.

Составим верхнюю интегральную сумму

Свойства интегральных сумм:

1. 

2. 

3. 

4. 

Составим интегральную сумму

,

являются частным случаем

Th.1 Ограниченность интегрируемой функции.

Допустим, что f(x) не ограничена на [a, b]. Покажем, что в этом случае Sn может быть сколь угодно большой.

Пусть неограниченность f(x) выполняется на

, что противоречит условию, ч. т.д.

Обратная теорема не верна.

Достаточное условие интегрируемости разрывных функций:

Th.1 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a, b], интегрируема на [a, b]

Th.2 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a, b], интегрируема на любом

Следствие: рассмотрим и пусть на [a, c]

Пределы интегрирования определенных интегралов:

Th. Свойство пределов интегрирования

Для

Доказательство:

1)  a<b<c смотри выше

2)  a<c<b

ч. т.д.

3)  с=а

А ещё можно выносить постоянный множитель за знак определенного интеграла, и интеграл суммы равен сумме интегралов.

Th.1 Грубая оценка определенного интеграла.

Th.2 Интегрирование неравенств