Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (стр. 1 )

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е В О П Р О С Ы

по курсу математического анализа

поток ФРТ, весенний семестр, 2008/2009 уч. год

лектор доцент

1. Неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных интегралов.

4. Непосредственное интегрирование.

5. Способ подстановки.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование элементарных дробей.

8. Рекуррентные формулы.

9. Интегрирование рациональных дробей.

10. Метод неопределенных коэффициентов.

11. Интегрирование иррациональных ф-ций.

12. Интегрирование иррациональных ф-ций: подстановки Чебышева.

13. Интегрирование тригонометрических ф-ций.

14. Специальные приемы интегрирования тригонометрических ф-ций.

15. Применение тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных функций.

16. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.

17. Интеграл с переменным верхним пределом.

18. Определенный интеграл как предел суммы и его св-ва.

19. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

20. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

21. Площади плоских фигур. Длина дуги кривой.

22. Объёмы тел.

23. Приближенное вычисление определенного интеграла.

24. Функции нескольких переменных: предел функции, непрерывность, частные производные.

25. Полный дифференциал функции.

26. Дифференцирование сложных функций.

27. Дифференцирование неявных функций.

28. Производная в данном направлении и градиент функции.

29. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

30. Ф-ла Тейлора для функции нескольких переменных (без вывода).

31. Экстремум функции нескольких переменных.

32. Отыскание наибольших и наименьших значений функции.

33. Числовой ряд: основные понятия. Расходимость гармонического ряда.

34. Признаки сравнения сходимости числового ряда.

35. Признак Даламбера.

36. Признак Коши.

37. Интегральный признак сходимости.

38. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Признак сходимости знакопеременного ряда.

1. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого выполняется равенство (или )

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования, - знак неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла.

1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции .

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

3) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая постоянную производную

3. Таблица основных интегралов.

, ()

4. Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

, а – число

, – число

5. Способ подстановки.

Пусть необходимо вычислить интеграл . Сделаем подстановку - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда Другими словами, формулу можно применять справа налево.

6. Интегрирование по частям.

Пусть - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя, получим или - формула интегрирования по частям, она дает возможность перейти к другому интегралу, который может оказаться халявнее.

Удобно вычислять:

1.Принимаем P(x)=u, остальное dv.

2. Принимаем P(x)dx=dv, остальное u.

3. Принимаем u=eax

7. Интегрирование элементарных дробей + 8.Рекуррентные формулы

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) – функция, равная отношению двух многочленов, т. е. , где Pm – многочлен степени m, а Qn многочлен степени n. (если m < n, то дробь – правильная, если , то неправильная).

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочленов и правильной рациональной дроби , т. е.

1. 

2. 

3. 

4. 

8. Рекуррентные формулы.

Рекуррентная формула – формула, выражающая каждый член некой последовательности через предыдущие члены.