Задание 37 Рассмотрим реактор идеального смешения объемом V литров. Пусть в этом реакторе протекает реакция a-го порядка. Концентрация вещества C в начальный момент времени (t=0) равна co. В реакторе непрерывно подводится вещество C и из реактора непрерывно отводится смесь исходных и конечных продуктов реакции. Поскольку объем реакционной смеси остается постоянным, то оба потока (z) одинаковы и не меняются со временем. В реактор попадает раствор вещества C с концентрацией cz, а на выходе из реактора концентрация этого вещества равна c. Кинетическое уравнение для реакции первого порядка, протекающей в проточном реакторе идеального смешения, имеет вид: dc/dt = - k×ca + czz/V – cz/V. Рассчитать кинетическую кривую этой реакции в начальный период, а также стационарную концентрацию, которая устанавливается через достаточно большой промежуток времени. Скорость реакции зависит от значения параметров co, cz, k, a, z и V. (Для расчетов взять следующие значения параметров: co = 3 моль/л, cz = 2 моль/л, a = 1, k = 0.001 1/c, z = 1 л/с, V = 1000 л.).
Задание 38 Дан следующий механизм реакции (буквами обозначены различные химические соединения, числа над стрелками – константы скорости):
Кинетика этой реакции описывается системой дифференциальных уравнений:
[A]’ = -[A] – 10[A][M]
[M]’ = 2[A] – 10[A][V] + 4[C] – 40[M][M]
[B]’ = 10[A][M]
[C]’ = 10[A][M] – 4[C]
[D]’ = 4[C]
[E]’ = 20[M][M]
Заменим в этой системе дифференциальных уравнений буквы индексированными переменными:
[A]’ ® D(1), [A] ® Y(1)
[M]’ ® D(2), [M] ® Y(2)
[B]’ ® D(3), [B] ® Y(3)
[C]’ ® D(4), [C] ® Y(4)
[D]’ ® D(5), [C] ® Y(5)
[E]’ ® D(6), [E] ® Y(6)
Тогда система диф-уравнений получится в виде:
D(1) = - Y(1) – 10Y(1)Y(2)
D(2) = 2Y(1) – 10Y(1)Y(2) + 4Y(4) – 40Y(2)Y(2)
D(3) = 10Y(1)Y(2)
D(4) = 10Y(1)Y(2) – 4Y(4)
D(5) = 4Y(4)
D(6) = 20Y(2)Y(2)
Составить самостоятельно систему диф-уравнений, исходя из механизма реакции, рассчитать кинетические кривые расходования вещества А и накопления продуктов реакции В, D и Е.
Задание 39 дана реакция разложения а-го порядка (аналогичная предыдущим примерам): 
.Тепловой эффект реакции равен Н. Реактор помещен в термостат с температурой Tb. Количество тепла, передаваемое от реактора к термостату, пропорционально (Т - Tb). Зависимость температуры в реакторе от времени можно описать следующим диф-уравнением:
.
Величина Н пропорциональна энтальпии реакции, D – коэффициент теплопроводности через стенку реактора.
Составить программу для решения соответствующей системы диф-уравнений и найти зависимость с от времени при заданных значениях параметров Tb, ko, Ea, H, D и a при начальном условии (t=0) c = co, T = To. (Обратить внимание, что в случае сильноэкзотермической реакции и малого отвода тепла при выполнении программы могут встретиться трудности, связанные с приближенным характером численного метода, например отрицательные концентрации в промежуточных результатах, неустойчивость решения, неправдоподобно большие значения температуры и многое другое.) При достаточно малом шаге интегрирования, т. е. если отрезок, ограниченный начальным и конечным значениями аргумента, разделить на очень большое число частичных отрезков, эти трудности устраняются, и ЭВМ выдает вполне разумные результаты.
Задание 40 Если известны не все начальные значения величины yi(xo), но известны значения y при одном или нескольких значениях х, то такой тип задач относится к краевым задачам. В качестве математического примера можно привести следующее дифференциальное уравнение:
Y’’ = x – y
С двумя краевыми условиями у(0) = 0 и у(1) = 2.
В качестве примера из химической кинетики рассмотрим механизм химической реакции, кинетическая схема и значения констант скорости которой:
А ® В к1 = 0.1
А + В ® продукты к2 = 0.1
Дифференциальные уравнения для концентраций веществ А и В имеют вид:
d[A]/dt = -0.1×[A] – 0.1×[A]×[B]
d[B]/dt = 0.1×[A] – 0.1×[A]×[B]
Если рассматривать все концентрации и константы скорости как безразмерные величины, то вопрос можно сформулировать следующим образом: как выглядят кинетические кривые для веществ А и В, если выполняются условия [A] = 0 при t = 0 (первое краевое условие) и [A] = 0.75 при t = 1 (второе краевое условие)? Чтобы выполнялось второе краевое условие, начальная концентрация вещества В должна иметь строго определенное значение. Если рассматривать эту задачу с полностью известными начальными условиями, то ее можно решить с помощью метода Рунге-Кутта (гл.9.5). В этом случае получаем:
[A](t=0) [B](t=0) [A](t=1) [B](t=1)
1.0 0.0 0.90061 0.09064
1.0 5.0 0.55774 4.70887
Следовательно, начальное значение концентрации В, которое удовлетворяет заданному при постановке задачи условию [A](t =1) = 0.75, должно лежать между 0 и 5:
[A](t=0) [B](t=0) [A](t=1) [B](t=1)
1.0 2.5 0.70929 2.37839
1.0 1.25 0.79941 1.22858
Таким образом, чтобы полностью найти начальные условия, надо задать (хотя бы произвольно) значение концентрации вещества В, найти решение системы дифференциальных уравнений, сравнить полученное значение концентрации вещества А в момент времени, равном 1 и выбрать новое «улучшенное» начальное значение концентрации вещества В (этот механизм похож на стрельбу по мишени, его еще называют «метод стрельбы»).
(нужно задавать точность расчетов)
Задание 41 Дана схема реакции, приведенная вначале, и соответствующая ей система уравнений. Определить начальные значения концентраций веществ А и В в момент времени t=0, если в момент времени t=2 A=1.1 и в момент времени t=4 A=0.7. Или же:
t = 0 t = 2 t = 4
A?1 1.1 0.7
B ?2 ?3 ?4
Для начала необходимо вычислить значения В при t=2 и t=4, рассматривая t=2 как начальный момент времени и принимая в качестве второго краевого условия t=4, А=0.7. Тогда можно получить значения?3 и?4. Значения?1 и?2 можно рассчитать, если в качестве начального условия использовать t=2, A=1.1 и вычисленное значение?3 и провести интегрирование системы дифференциальных уравнений с отрицательным шагом. Таким образом, находятся концентрации вещества А и В в момент времени t=0.
Задание 42 Примером может служить задача о распределении температуры вдоль стержня, которая решается с помощью второго закона Фурье: ¶Т / ¶t = с ׶2Т / ¶х2. Распределение температуры вдоль стержня описывается формулой Tt=0(x) = x.
Начиная с момента времени t = 0 на обоих торцах стержня поддерживается температура Т = То. Если стержень разделить на n равных интервалов длиной h, то первую частную производную от Т по х в точке хi приближенно можно представить в виде:
.
Вторую частную производную можно приближенно выразить как: 
.
Подставив в эту формулу приближенное выражение для Т’, получим:
.
Если каждый интервал разделить пополам и провести дифференцирование тем же способом, то получится окончательная формула, с которой мы будем работать (2h заменяем на h):
.
Подстановка этого приближенного выражения в приведенное выше уравнение второго закона Фурье дает:
.
Для краткости будем писать Ti вместо T(xi), T’i вместо ¶T(xi)/¶t, b вместо c/h2.Учитыва, что на торцах стержня температура равна Тщ, можно написать систему уравнений:
Т’1 = b(To + T2 – 2T1)
T’2 = b(T1 – 2T2 + T3)
……………………
T’i = b(Ti-1 – 2Ti + Ti+1)
Таким образом, в этом приближении задача свелась к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Чем больше взято интервалов, тем больше эта система и тем точнее результаты.
Задания:
- Написать программу для 10 и 20 интервалов и сравнить полученные результаты. Для этого надо изменить размерность системы дифференциальных уравнений с вытекающими последствиями.
Задание 43 Диффузия описывается уравнением такого же вида, что и теплопроводность (уравнение Фика). Для одномерной задачи оно выглядит так: ¶С/¶t = a׶2C/¶x2.
Рассмотрим пример. Пусть имеется конструкция из стеклянных трубок в виде буквы Н. Концентрации некоторого вещества в газе, протекающем по двум параллельным трубкам, равны С1 и С2 соответственно. Концентрация этого вещества в соединительной трубке в момент времени t=0 равна 0.Как выглядит распределение концентрации вдоль соединительной трубки в определенный момент времени?
С точки зрения математики эта задача ничем не отличается от предыдущей задачи. Если время, концентрацию и длину соединительной трубки рассматривать как безразмерные величины, то, выбрав числовое значение для коэффициента а, можно получить искомое распределение вещества в соединительной трубке в определенный момент времени.
Как выглядит стационарное распределение концентраций? Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассчитать распределение при нескольких значениях t и выбрать такое, которое не меняется с увеличением t.
Задание 44 Дана трубка, диаметр которой много меньше ее длины. Трубка запаяна с обеих сторон, и посередине имеется закрытый кран. Левая половина трубки заполнена газом А, правая – газом В. Давление в обеих частях трубки одинаково. В момент времени t=0 кран открывают. Как выглядит распределение газов А и В вдоль трубки в определенный момент времени? В каждом поперечном сечении концентрации газов постоянны.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
