Лекция 1 Кинематика материальной точки (стр. 4 )

В полярной системе координат-

, (2.24а)

(2.24б)

В естественном способе описания, уравнения движения представляются так:

; (2.25а)

(2.25б)

В правых частях написанных уравнений стоят составляющие компоненты силы, которые в обратной задаче считаются известными.

Примеры решения обратных задач

Приведенные ниже примеры поясняют общую методику решения обратной задачи.

Исследуем движение частицы в поле тяжести Земли.

Галилей опытным путем показал, что в поле тяжести все тела падают с одинаковым ускорением (теорема Галилея). Следовательно, и уравнения (2.21а) переходят в кинематические соотношения

(2.26)

Интегрируя уравнения (2.26) с начальными условиями (2.22), получим

(2.27)

В зависимости от выбора начальных условий (), уравнения (2.27) описывают разные движения – частица может подниматься вверх, опускаться вниз по прямой, или по параболическим траекториям.

В координатном методе для решения обсуждаемой задачи направим ось X прямоугольной системы координат горизонтально, а ось Y – вертикально вверх, так, чтобы точке бросания соответствовало значение по оси Y координата y0 (рис. 2.8). В выбранной системе координат начальные условия движения примут следующий вид:

(2.28)

а уравнения движения

рис.2.8

(2.29)

С учетом начальных условий, интегрирование последних соотношений дает

; . (2.30)

Полученные решения, которые можно получить, проектируя векторные решения (2.27) на выбранные оси X и Y, дают полное описание движения частицы.

Исключив из законов движения (2.40) время, получим уравнение траектории в явном виде:

, (2.31)

что представляет параболу (рис. 2.8).

Математические решения, получаемые из физических уравнений, как правило, имеют смысл в ограниченных областях значений входящих в них параметров. Например, для рассматриваемого движения (2.30) соотношения имеют смысл лишь в промежутке времени 0, tmax, где tmax – это момент падения частицы на поверхность Земли. Последующее движение частицы не описывается этими формулами, т. к. из-за столкновения с поверхностью Земли, частица подвергается воздействию дополнительных сил, которые не учитываются в уравнениях (2.36а).

Максимальную высоту полета (ymax) можно определить, исследуя функцию (2.31):

. (2.32)

Дальность полета можно определить из условия y(xmax) = 0:

. (2.33)

Радиус кривизны траектории в произвольной точке определится по формуле

, (2.34)

где α – угол между векторами и в рассматриваемой точке траектории (рис. 2.8):

.

Из последних двух соотношений для радиуса кривизны можно получить:

. (2.35)

Движение заряда в продольном электрическом поле в релятивистской механике.

Пусть заряд q массой покоя m помещен в постоянное электрическое поле, направленное по оси Х. Получим уравнение движения заряда в релятивистской механике при следующих начальных условиях:

(2.36)

Так как сила, действующая со стороны электрического поля, направлена по оси Х, а по осям Y и Z движение отсутствует (vx=vy=0), то основное уравнение релятивистской динамики имеет следующий вид

. (2.37)

Опуская индекс х, и интегрируя это уравнение по времени, учитывая начальное условие v(0)=0, получим

,

откуда определим скорость

. (2.38)

В начальный период движения, когда подкоренное выражение можно заменить единицей. В этом случае получим результат динамики Ньютона: . В обратном пределе , из (2.49) получим релятивистское выражение скорости

.

Как видно, скорость частицы стремится к скорости света при . График, изображенный на рис. 2.9 представляет зависимость скорости от времени,

рис.2.9

из которого следует, что при приближении к скорости света возрастание скорости сильно замедляется, хотя на частицу действует та же самая постоянная сила. Это обусловлено возрастанием инертности частицы.

Интегрируя (2.38) по времени и учитывая начальное условие x(0)=0, получим релятивистический закон движения частицы

. (2.39)

Заметим, что в случае получаем .

Движение заряда в однородном магнитном поле.

Пусть заряд q массой m влетает под углом α в однородное магнитное поле с индукцией . Определим закон движения частицы. Ось Z прямоугольной координатной системы направим по - (0,0,В), так чтобы вектор скорости лежал в плоскости XY (рис. 2.10). Начальными условиями движения в этом случае будут:

. (2.40)

Во-первых, рассмотрим движение в рамках ньютоновской механики. Уравнение движения

. (2.41)

в избранной системе координат примет следующий вид:

. (2.42)

Исключив из первых двух уравнений , для получим уравнение гармонических колебаний , где называется циклотронной частотой заряда. Учитывая начальные условия для скорости (2.40), для решений уравнения (2.42) получим

(2.43)

Интегрируя скорости по времени, получим закон движения частицы

, (2.44)

где

(2.45)

Частица в плоскости XY, перпендикулярной магнитному полю, совершает вращательное движение с частотой . Радиус окружности дается формулой (2.45) (циклотронный радиус). По направлению магнитного поля частица совершает равномерное движение. Результирующее движение происходит по спирали (рис. 2.10).

рис.2.10

Заметим, что магнитное поле, искривляя в перпендикулярном к себе направлении движение частицы, оставляет без изменений модуль скорости этой частицы. Это можно показать, скалярно умножив уравнение (2.41) на и учитывая, что

откуда следует результат v2 = const. Это справедливо также в релятивистской механике. Действительно, скалярно умножив уравнение на релятивистский импульс частицы, снова получим