Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 2 )

Указание. Используйте равенство

4. Докажите, что при любом натуральном n:

а) < 1;

<

5. Упросите выражение:

9

6. Найти такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знамена

Ответ:

7. Что больше:

8. Что больше:

Проценты

Процентом от любой величины называется одна сотая часть.

Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Пример 1. 47% =

Чтобы выразить число в процентах, его надо умножить на 100.

Пример 2. 0,47 = (0,47 ∙ 100)% = 47%.

Простейшие задачи на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Пример 3. 13% от 2000 руб. равны 2000 · 0,13 = 260 руб.

10

2. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на соответствующую дробь.

Пример 4. Если 8,4 кг есть 12% массы штанги, то масса штанги равна 8,4: 0,12 = 70 кг.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Пример 5. 18 г. соли в растворе 240 г. составляет раствора.

Задачи для самостоятельного решения

1.Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов поле подсушивания?

Решение: Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит, в них содержится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет

140 · 0,02 = 2,8 кг. В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляет уже 100% - 93% = 7%. Следовательно, масса подсушенных грибов равна

Ответ: 40 кг.

2. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл – 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды.

11

Ответ: 15 т.

3. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Ответ: 53%.

4. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Ответ: 5%.

5. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих?

Ответ: 10 кг.

6. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Ответ: На 38,8%.

7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Ответ: 200 кг.

8. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Ответ: 40 л и 30 л.

12

9. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число

процентов. На сколько процентов снижена цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р.,

а окончательная 1805 р.?

10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

11. Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше

покупали 2,8 кг?

12. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?

13. Множимое увеличили на 50%, а множитель уменьшили на 50%. Как изменилось произведение?

Задачи на концентрацию и процентное содержание

В задачах, связанных с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”, речь идёт о составлении сплавов, растворов или смесей несколько веществ.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;

б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы , получается смесь, объём которой равен сумме .

Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при смешивании двух растворов не объем, а масса равняется сумме составляющих её компонент.

13

Рассмотрим смесь трёх компонент А, В, С. Объём смеси складывается из объёмов чистых компонент: , а три отношения dА=dB=dС= показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент

Отношения объёма чистой компоненты в растворе ко всему объёму смеси : = называется объёмной концентрацией этой компоненты.

Концентрация – это безразмерная величина.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице:

Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина Р = · 100%, т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле.

Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное содержание, а именно как отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.

14

Задача 1. Имеется кусок сплава с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившейся новый сплав содержал

40% меди?

Решение: Пусть масса олова, которую надо добавить к сплаву, равна х кг. Тогда получится сплав массой (12+х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нём было кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в сплаве одна и та же, то можно записать следующее уравнение: Решив его, получим х = 1,5.

Ответ: 1,5 кг.

Задача 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта содержится х·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т стали второго сорта содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-

15

ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной

стали должно быть 140 · 0,3 т никеля. Но это количество никеля складывается из х · 0,05 т, содержащихся в стали первого сорта, и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,

из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием – 100 т.

Ответ: 40 т, 100 т.

Задачи для самостоятельного решения

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы получить раствор, содержащий 2% соли?

Ответ: 60 кг.

2. Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определите пробу второго слитка.

Ответ: 736 пробы.

3. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей 70% меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимое для изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено.