Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 9 )

Ответ: -9; -3; 5.

12. При каких целых значениях n дробь есть целое число?

Ответ: -6: -2; 0; 4.

13. Найти все целые а, при которых дробь принимала бы

54

целые значения.

Ответ: -1; 0; 2; 3.

Принцип Дирихле

Пример 1. Можно ли рассадить 5 кроликов в 4 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более одного кролика?

Решение: Предположим, что нам это удалось. Тогда, если в каждой клетке не более одного кролика, то в 4 клетках не более четырёх кроликов, а у нас их 5. Значить, это сделать невозможно.

Более общий вывод из этой задачи можно сформулировать в следующем виде:

Если у нас имеется сколько-то клеток, а кроликов на одного больше, то после рассаживания кроликов по клеткам найдётся клетка, где сидит по крайней мере два кролика.

Это и есть принцип Дирихле. Его можно записать и иначе на «математическом» языке:

После рассаживания в n клетках n + 1 кролика найдётся клетка, где сидит, по крайней мере, два кролика.

Попробуем обобщить принцип Дирихле,

Пример 2. Можно ли рассадить 9 кроликов в 4 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более двух кроликов?

Решение. Этого сделать нельзя: по крайней мере в одной клетке будет сидеть не меньше трёх кроликов. Отметим, что их может быть и больше трёх (если, например, посадить в 3 клетки по одному кролику, а в четвёртую всех остальных).

Пример 3. Можно ли рассадить в 20 клеток 101 кролика так,

55

чтобы в каждой клетке было не более 5 кроликов?

Решение. Нельзя. В некоторой клетке будет не меньше шести кроликов.

Обобщение принципа Дирихле. В данные n клеток мы разместили nk + 1 кролика. Тогда найдётся клетка, где сидит не менее k + 1 кролика.

Пример 4. В классе учится 29 человек. Серёжа допустил в диктанте 13 ошибок, и никто другой не сделал большего числа ошибок. Доказать, что по крайней мере трое учеников сделали одинаковое количество ошибок.

Решение: Пусть «клетки» - это количество ошибок, которые могли сделать школьники: 0, 1, 2, ···, 13. Их 14. За «кроликов» примем учеников, писавших диктант. Их 29 = 14 · 2 + 1. Тогда по принципу Дирихле (а точнее, по его обобщению) найдётся «клетка», в которой сидит не меньше трёх «кроликов», а это и означает, что найдётся трое школьников, сделавших одинаковое количество ошибок.

Задачи для самостоятельного решения

1. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Ответ: Можно. (Так как сортов имеется 3, а ящиков 25, то хотя бы одного сорта не меньше 9 ящиков).

2. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих, 8 зелёных и 4 жёлтых. В темноте берём из ящика карандаши. Какое

56

наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо

а) было не меньше 4-х карандашей одного цвета?

б) был хотя бы один карандаш каждого цвета?

в) было не меньше 6 синих карандашей?

Ответ: а) 13; б) 27; в) 28.

3. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

Ответ: Найдётся. (Так как 40 > 36 = 12 ∙ 3, то найдётся месяц, в котором родились не менее четырёх одноклассников).

4. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

5.У мальчика 25 медных монет (это монеты достоинством в

1 коп, 2 коп, 3 коп, 5 коп.). Докажите, что у него найдётся

7 монет одинаково достоинства.

6. В 500 ящиках лежат яблоки, в каждом не более 240 штук.

Докажите, что найдутся три ящика, в которых яблок поровну.

7. В ящике 35 яблок трех сортов: анис, антоновка и славянка. В темноте мальчики выбирают яблоки. Какое наименьшее число яблок надо взять, чтобы среди них наверняка оказалось не меньше 4 яблок донного сорта?

8. Найдите значение дроби:

57

(Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.)

Ответ: а) 0; б) 0. (Поскольку в этом ребусе 10 различных букв, то встречаются все цифры, включая нуль. На нуль делить нельзя, поэтому множитель 0 – в числителе).

9. Алёша в среду, четверг, пятницу съел всего 7 конфет. Докажите, что хотя бы в один день он съел более 2 конфет

10. В районе 15 школ. Докажите, что как бы ни распределяли между ними 90 компьютеров, обязательно найдутся две школы, получившие одинаковое число компьютеров (возможно, ни

одного).

11. В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа -1, 0, 1. Рассмотрим восемь сумм: сумма трёх чисел в каждой строчке, каждом столбце и по двум главным диагоналям. Докажите, что среди них найдутся хотя бы две одинаковые.

Принцип Дирихле и делимость целых чисел

1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

Решение: При делении на 5 возможных 5 разных остатков:

0; 1; 2; 3; 4. Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми остатками; их разность разделится на 5.

2. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

Решение: Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов – чётных

58

и нечётных чисел – лишь два). Сумма их делится на 2 .

3. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два, разность которых делится на10.

4. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?

Решение: При делении на 3 есть три остатка: 0, 1, 2. Так как

7 = 3 ∙ 2 + 1, то найдутся три числа, дающие один остаток.

5. Доказать, что найдётся число вида 11· · ∙ 10 ∙ · · 00, делящееся

на 1998.

Решение: Рассмотрим 1999 чисел:

1, 11, …, 11…111

1999

Среди них есть два с одинаковыми остатками при делении на 1998. Их разность – искомое число.

Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решение: Преобразуем систему:

(1)

59

Решим второе уравнение системы, используя определение модуля числа:

Тогда из первого уравнения системы (1) находим:

1)

2)(1;-6); (5;-6).

Ответ: (1;-6); (5;-6).

Задачи для самостоятельного решения

Решите систему уравнений:

.

Ответ: (0; 2); (3; 1).

Ответ: (3; 1);

Ответ: (0; -1); (1; 0).

Ответ: (1; -1); (-1; -1).

60

Ответ: (5; 0), (-3; 2).

Ответ: (1; 2).

Ответ: (1,5; 5,5), (2,5; 5,5).

Ответ: (х; 5 – х), где х ≥ 3.

Системы линейных уравнений с параметрами

Система вида

(1)

где А1, А2 , В1, В2, С1, С2 – выражения, зависящие от параметров,

а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Если из какого-нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найденную неизвестную в другое уравнение, получим линейное уравнение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем самым, исследование системы сведётся к исследованию линейного уравнения.

Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными представляют собой прямые.

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых. Эти прямые могут:

61

а) пресекаться, в этом случае система (1) имеет единственное решение; коэффициенты системы удовлетворяют условию

б) совпадать, в этом случае система (1) имеет бесконечно много решений; коэффициенты системы удовлетворяют условию

= =

в) параллельны, в этом случае система (1) не имеет решений;

коэффициенты системы удовлетворяют условию

= ≠

Пример 1. Определить, при каких значения m система

имеет единственное решение.