Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 4 )

Если b= - то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда следует: х

2) а - 2, т. е. а . Тогда х =

Ответ: если а =2, b то х Ø;

если а = 2, b= - то х

если а , b- любое, то х =

Задачи для самостоятельного решения

Для всех значений параметров а, b, n , m решить уравнения.

1. ах – 3 = b. 2. 4 + bх = а.

3. b = а(х – 3). 4.

5. 2х – 3(х – а) = 3 + а. 6. ах – 3(1 + х) = 5.

7.3х + 1 = b. 8. 5 + х = ах.

23

9. ах – 3 = 2х – 5. 10.mх - 3 = 3х – m.

11. 4 = а – (bх – 1). 12.

13. ах – b = 1 – х. 14. (m – 3)х + m + 2n = 0.

15. (а – 2b)х + а +b = 3 16.

17. а + х = а2х – 1. 18. 7 – ах = b(3 + х).

19. а (а – 1) х = а. 20.

Линейные диофантовы уравнения

Определение. Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются диофантовыми по имени математика Диофанта.

Рассмотрим уравнение

ах + bу = с (а (1)

коэффициенты, которого а, b и с – целые числа.

Пусть d = D (а; b) или d = (а; b) или d = НОD (а; b) - наибольший общий делитель а и b.

Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (а; b), то уравнение (1) не имеет решений в целых числах (тем более в натуральных).

Правило 2. Если с делится на НОD (а; b), то уравнение (1) имеет целые решения.

Если с делится на НОD (а; b) , то уравнение (1) следует упростить, разделив обе его части на НОD (а; b).

24

Правило 3. Если а и b –взаимно простые числа, то уравнение ах + bу = 1 имеет решение в целых числах х и у.

Правило 4. Чтобы найти решение уравнения (1) при взаимно простых а и b , нужно сначала найти решение ( уравнения ах + bу = 1; числа и составят решение

уравнения (1).

Правило 5. Если коэффициенты а и b уравнения (1) взаимно просты, то все решения уравнения (1) получаются по формулам х = , у = , n , где и одно из решений этого уравнения.

Пример 1. Решите диофантово уравнение 6х + 9у = 2.

Решение: НОD (6; 9) = 3, а 2 на 3 не делится. Значит, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решите в целых числах уравнение 28х – 40у = 60.

Решение: НОD (28; 40) = 4, число 60 делится на 4. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 4, получим уравнение 7х – 10у = 15. Сначала подберём частное решение уравнения 7х – 10у = 1. НОD (7; 10) = 1 . и - частное решение уравнения 7х – 10у = 1. и - частное решение уравнения 7х – 10у = 15.

Общее решение уравнения 7х – 10у = 15 задаётся формулами

х = 45 + 10t, у = 30 + 7t, t

Ответ: (45 + 10t, 30 + 7t), t

25

Пример 3. Решите диофантово уравнение 6х +9у = 3. (*)

Решение: НОD (6; 9) = 3, число 3 делится на 3. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 3, получим уравнение 2х + 3у = 1.(1) Сначала подберём частное решение уравнения 2х + 3у = 1. х = 5, у = -3 является частным решением уравнения (1), так как справедливо равенство 2·5 + +3·(-3) = 1.

В уравнении (1) заменим число 1 выражением 2·5 + 3·(-3)

и преобразуем полученное уравнение:

2х + 3у = 2·5 + 3· (-3),

2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0. (2)

Введём новые неизвестные:

(3)

уравнение (2) перепишем в виде

(4)

Все решения однородного уравнения (3) задаются формулами где n – любое целое число. Используя равенства (3), получим, что все решения уравнения (*) задаются формулами где n

Ответ: (5 – 3n, -3 + 2n), n

Линейные диофантовы уравнения применяются при решении задач.

Задача 1. У покупателя и продавца имеются монеты только по

2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку

26

стоимостью 1 р.?

Решение: Если покупатель даст х монет по 2 р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1 р.

Следовательно, 2х + 5у = 1. (1)

Пара (3; -1) является частным решением уравнения (1), так как 2 · 3 + 5 · (-1) = 1. Это означает, что покупатель может дать 3 монеты по 2 р. и получить сдачу 1 монету по 5р.

Общее решение диофантова уравнения (1) имеет вид

х = 3 – 5n, у = -1 + 2n, где n

Способов оплаты товара стоимостью 1 р. в задаче 1 бесконечно много. Если, например, у окажется отрицательным, то это означает, что покупатель должен получить сдачу монетами по 5 р.

Ответ: Сможет.

Задачи для самостоятельного решения

1.Решите диофантово уравнение:

а) 3х + 4у = 0; б) 4х + 6у = 3;

в) 5х + 3у = 4; г) 5х + 3у = 1;

д) 7х – 5у = 2; е) 5х + 8у = 29;

ж) 7х + 4у – 9z = 89; з) 10х – 13у + 8z = 143.

2. При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?

3. Объясните, почему не имеет в целых числах решений уравнение:

а) 2х + 6у = 11; б) 3х – 5у = 10; в) 7х – 21у = 12.

4. У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет

27

ли покупатель заплатить за покупку стоимостью:

а) 112 р.; б) 30 р.?

Ответ: а) Нет; б) да.

5. Двенадцать человек несут 12 буханок хлеба; каждый мужчина несёт по 2 буханки, женщина – по половине буханки, ребёнок – по четверти. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Ответ: 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

6. Размен по 2 и 3 копейки.

Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?

Ответ: 4 способа.

7. 22 монеты.

Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Ответ: 2 способа.

8. На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

арбуз (1 шт.) - 50 копеек

яблоки (1 шт.) - 10 копеек

сливы (1 шт.) - 1 копейка.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Ответ: 1 арбуз; 39 яблок; 60 слив.

9. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получилось соответственно

остатки 5 и 4.

Ответ: 185 + 15; 119 + 81; 53 + 147.

28

10. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 28 даёт в остатке 21, а при делении на 19 даёт

в остатке 17.

Ответ: 245.

Графики функций, содержащих переменную

под знаком модуля

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.