Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 6 )

Запись следует понимать так:

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

Как же переводить числа из десятичной системы в двоичную?

Покажем это на примере числа 517.

< 517 < Значит, 517 = Посмотрим, между какими степенями двойки лежит 5: 22< 5 <23, откуда 517 = 1∙29 + + 1∙22 + 1. Последняя единичка – это просто 20. В итоге получаем, что 517 = 1 ∙ 29 + 1 ∙22 + 1 · 20. Здесь использовали только девятую, вторую и нулевую степени двойки, значит коэффициенты при остальных степенях – нули.

36

Итак,

517 = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27 + 0 ∙ 26 + 0 ∙ 25 + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 +

+ 1 · 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 10000001012 .

Есть и другой способ перевода чисел из десятичной системы в двоичную, он удобен для вычислений на компьютере. Покажем его на примере этого же числа.

517 = 2 ∙ 258 + 1,

258 = 2 ∙ 129 + 0,

129 = 2 ∙ 64 + 1,

64 = 2 ∙ 32 + 0,

32 = 2 ∙ 16 + 0,

16 = 2 ∙ 8 + 0,

8 = 2 ∙ 4 + 0,

4 = 2 ∙ 2 + 0,

2 = 2 ∙ 1+ 0,

1 = 2 ∙ 0 + 1.

Получили, что 517 = 10000001012 .

Сделаем проверку: 10000001012 = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27 + 0 ∙ 26 + + 0 ∙ 25 + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 29 + 22 + 20 =

= 512 + 4 + 1 = 517.

Сложение и вычитание

Из равенств 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 становится понятно, что в двоичной системе можно складывать числа столбиком, только при этом надо помнить, что две единицы

каждого разряда дают единицу следующего.

37

Например:

1011101

10010

+ 110011

1011100

11111110

В десятичной системе этот пример выглядел бы так:

93

18

+ 51

92

 

254

Вычитание: 11001011

1010110

1110101

В десятичной записи уменьшаемое 110010112 равно 203, вычитаемое 10101102 равно 86, и тогда этот пример можно записать так: 203

86

117

Умножение

Таблица умножения в двоичной системе:

0 ∙ 0 = 0, 1 · 0 = 0 ∙1 = 0, 1 · 1 = 1.

Умножение столбиком – это просто сложение нескольких одинаковых чисел, отличающихся только сдвигом:

38

1010011

1001101

1010011

+ 1010011

1010011

1010011

1100011110111

А вот как этот же пример выглядит в десятичной системе:

83

×

77

581

+

581

 

6391

Задачи для самостоятельного решения

1. Переведите число 721 из десятичной системы в двоичную.

Ответ: 72110 = 10110100012 .

2. Какое число записывается как 10101101 в двоичной системе счисления?

Ответ: 17310 .

3. Сложите столбиком числа, записанные в двоичной системе:

а) 1010 + 101 = ? Ответ: 1111; 10 + 5 = 15.

б) 1111 + 1 = ? Ответ: 10000; 15 + 1 = 16.

в) 1011 + 1 = ? Ответ: 1100; 11 + 1 = 12.

г) 1111 + 1111 = ? Ответ: 11110; 15 + 15 = 30.

39

Проверьте ответы, переводя слагаемые и сумму в десятичную систему счисления.

4. Выполните вычитание чисел в двоичной системе в столбик. Проверьте результаты, переводя все числа десятичную систему.

а) 1101 – 101 =? Ответ: 1000; 13 – 5 = 8.

б) 110 – 1 =? Ответ:101; 6 – 1 = 5.

в) 1000 – 1 =? Ответ: 111; 8 – 1 = 7.

5. Перемножьте в столбик записанные в двоичной системе числа 1101 и 1010. Проверьте результат, переводя все числа в десятичную систему.

Ответ: 10000010; 13 · 10 = 130.

6. Разделите 11011 на 101 (двоичная запись) уголком. Проверьте результат, перейдя в десятичную систему.

7. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переводите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переводите в десятичную систему:

а) 20 + 40; б) 1998 + 23; в) 23 · 34534; 460 · 20.

Делимость целых чисел

Определение и свойства делимости.

Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = bс.

Если а делится на b, то kа делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а - b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

40

Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.

2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится

на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число

аb кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число

9а + 2b кратно 18.

6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число

а2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.

10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.

12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.

Теорема о делении с остатком

Для любого целого числа а и натурального числа b, суще-

41

ствует единственная пара чисел q и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток

от деления числа а на 4?

Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде

а = 8k + 6 = 4(2k + 1) + 2.

2. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2.

4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа а2 – 3а?

5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

6. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.

8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом

42

натуральном n.

11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.

12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.

13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и

b кратно 3.

Количество делителей.

Степень p n любого простого числа p имеет n + 1 делителей: 1; p; p2; . . . , p n. Если p1, p2, . . . , pk – различные простые числа, а а1, а2, . . . , а k – натуральные числа, то число

имеет (а1 + 1)(а2 + 1) ··· (а k + 1) различных делителей (считая 1 и n).

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько различных делителей имеет число: а) 35; б) 35 · 5;

в) 22 · 33 · 44 · 55; г) 2700; д) 9!.

2. Натуральное число делится на 12 и имеет 14 различных делителей. Найдите это число.

3. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных натуральных делителей.

4. Найдите число, которое делится на 2 и 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само это число).

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Общим делителем чисел а и b называется число, на которое делятся оба числа а и b.

Для нахождения НОД (а;b) можно использовать алгоритм