Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 8 )

аn – 1 = (a -1)(a n-1 + a n-2 + …+ a n – k+ …+ a + 1);

a2m +1 + b 2m +1 = (a + b) (a 2m – a 2m -1b + …+ (-1) ka 2m – kb k +

+ ··· - ab 2m -1 + b 2m);

a2m +1 + 1 = (a + 1) (a 2m – a 2m -1 + ··· + (-1) ka 2m – k + ··· - a + 1).

48

Задачи для самостоятельного решения

1. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (а + b + с)2; г) (а – b – с)2;

б) (p + х + с + d)2; д) (2а – х + 3с)2;

в) (х + у – z)2; е) (m + 5k – 2b – 3р)2.

2. Упростите выражение:

а) (2х + у – 3z)2 – (х -2у + 2z)2;

б) (m – 4n + 5z)2 – (3m – n -3k)2;

в) (4 – 2p + q2)2 – (3p 2 – 5q +7)2;

г) (а + b + с)2 + (а – b – с)2 + (b – а – с)2 + (с – а – b)2.

3. Решите уравнение:

а) х2 + у2 – 2у + 1 = 0;

б) |х| + у2 + z2 -2у+ 4z + 5 = 0;

в) 4х2- 10ху + 25у2 = 10ху - |у – 2| .

4.Докажите, что если а + b + с = 0 и а2 + b 2 + с2 = 1, то

аb + bс + са = -

5. Докажите, что если а = b + 1, то (а + b) (а2 + b2) (а4 + b4) (а8+

+ b8) ··· (а64+ b64) = а128 – b128.

6. Докажите, что если а2 + b2 + с2 = аb + bс + са, то а = b = с.

7. Докажите, что если а3+ b3 + с3= 3аbс, если а + b + с = 0.

8. Докажите, что при любом натуральном значении n:

а) 7n- 1 кратно 6;

б) 33n – 1 кратно 13;

в) 5n + 3 делится на 4;

49

г) 15n + 6 делится на 7.

9. Сократите дробь:

10. Докажите, что из равенства (а – b)2 + (b – c)2 + (c – а)2 =

= (а + b – 2с)2 + (b + с – 2а)2 ++ (с + а – 2b)2 следует,

что а = b = с.

Двузначные и трёхзначные числа

Запись означает число, в котором a десятков и b единиц. Это число можно представить в виде многочлена: = 10а + b.

Запись означает число, в котором а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно представить в виде многочлена: = 100а + 10b + с.

Пример 1.Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

Решение: Пусть а – цифра десятков искомого числа, b – цифра его единиц. Тогда по условию задачи имеем:

откуда первоначальное число 890.

Ответ: 890.

50

Задачи для самостоятельного решения

1. Представьте в виде многочлена число:

а) б) в)

2. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

а) в)

б) г)

3.Докажите, что:

а) сумма чисел и кратна сумме а и b;

б) разность чисел и кратна 9.

4. К числу х приписали справа цифру 4 . Представьте полученное число в виде суммы, если:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

5. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у:

а) двузначное число; б) трехзначное число.

6. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Ответ: 31; 62; 93; зачеркнуть нужно первую цифру.

7.Найдите двузначное число, которое в четыре раза больше суммы его цифр.

Ответ: 12; 24; 36; 48.

8.Найдите все трёхзначные числа, которые в 25 раз больше

51

суммы своих цифр,

9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число.

Ответ: 37.

10. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?

Ответ: 72.

11. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц. Найти число.

Ответ: 28.

Делание многочлена на многочлен

Чтобы разделить многочлен F(х) на многочлен f(х), надо:

1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен является первым членом частного;

3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же, как поступали с делимым в п. 2 и 3.

Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя.

52

Пример 1. Выполните деление с остатком х3 – 3х + 2 на х + 2.

Решение:

х + 2

х3 + 2х2 х2 – 2х + 1

(первый остаток ) -2х2 – 3х + 2

-2х 2 – 4х (второй остаток) х + 2

х + 2

0

Пример 2. Найдите все такие целые с, при которых дробь является целым числом.

Решение: Выделим целую часть из дроби.

с + 7 с - 4

с – 4 1

11

поэтому исходное число будет целым, если 11 кратно с – 4. 11 – простое число, значит, его делителями будут

- 11, - 1, 1, 11. Решим 4 уравнения: с – 4 = - 11; с – 4 = - 1;

с – 4 = 1; с – 4 = 11.

Получаем с = -7; с = 3; с = 5; с = 15.

Ответ: -7; 3; 5; 15.

Задачи для самостоятельного решения

Выполните деление с остатком:

на х – 1.

на х 2 - х + 1.

3. х4 – 3х 2 + 1 на х – 2.

4. х4 + х + 1 на х 3 + 1.

53

5. х5 – 6х3 + 2х2 – 4 на х2 – х + 1.

6. х4 + х2 + 1 на х + 5.

7. х7 – 1 на х3 + х + 1.

8. х4 – 64 на х – 3 .

9. а) Представьте выражение в виде где а, b и с – целые числа.

б) Представьте выражение в виде

ах +b + где а, b, с, d - целые числа.

10. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом?

Ответ: 4.

11. При каких целых значения n выражение является натуральным числом?