Рецензия на магистерскую диссертацию студента 2 курса магистратуры очной формы обучения юридического факультета СПбГУ Ермакова Андрея Валерьевича на тему: «Тактика осмотра места дорожного происшествия» (стр. 3 )

Ответ: 100 кг.

Задача 4. В колбе было 200 г 80% спирта. Провизор отлил из

16

колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

Ответ: 50 г.

5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни.

Ответ: 60 %.

6 . Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Ответ: 120 г.

7. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

8. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5%-ный раствор уксуса?

9. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75 г и 864-й

пробы 150 г. Определите пробу сплава.

10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом из них количество этих металлов находится в отношении 3:5, а во втором 2:7. Сколько килограммов от каждого сплава нужно взять, чтобы получить 11 кг нового сплава, в котором медь и цинк вошли бы

17

в отношении 2:5.

11. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго сплава и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определите вес нового сплава.

Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается ||. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: |х – 6| = 9.

Решение:

Если число 6 изобразить тачкой А, то по определению модуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

18

Ответ: 15; -3.

Пример 2.Решите уравнение: |х –1 | + |х – 3| = 6.

Решение: Решить уравнение |х – 1| + |х – 3| = 6 – значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна из точек отрезка не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т. е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1.

Ответ: 5; -1.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

а, если а

|а ‌‌‌| =

-а, если а < 0.

Пример 3. |2х – 12| + |6х + 48| = 160.

Решение:

а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2х – 12 = 0, 6х + 48 = 0,

х = 6, х = - 8.

19

б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -8, -8> 6. Решение данного уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

Ι Ι Ι ΙΙΙ х

-8 6

в) Ι. х < -8.

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.

- (2х – 12) – (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 – 6х – 48 = 160,

- 8х = 196,

х = - 24,5. (х < -8).

ΙΙ.. В данном промежутке первое выражение, стоящие под знаком модуля, отрицательно, а второе положительное,

- (2х – 12) + (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 + 6х + 48 = 160,

4х = 100,

х = 25 (не принадлежит данному промежутку).

ΙΙΙ. х >6.

Оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны.

(2х – 12) + (6х + 48) = 160,

2х – 12 + 6х + 48 = 160,

8х = 124,

х = 15,8. (х>6).

Ответ: -24,5; 15,8.

20

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнение:

1) |3 – х| = 7 Ответ: -4; 10.

2) |2х + 3| = 3х – 3 Ответ: 6.

3) |6х – 4| = 3х – 14 Ответ: Ø.

4) х - |3х – 2| = 3 - (2х – 5) Ответ: 4.

5) |2х + 5| - |3х – 4| = 2х - 2 Ответ: -7; -1;

6) |2х + 5| = |3х - 1| + 1 – 2х Ответ: -

7) 3х – 2 |х| + |х – 2| - |х – 4| = 3 Ответ: 3.

8) |3х – 8| - |3х – 2| = 6 Ответ: х

9) |х – 1| - 2|х – 2| +3 |х – 3| = 4 Ответ: 1

10) |2 + |2 + х|| = 3 Ответ: -3; -1.

11) Ответ: -3.

12) х2 - 5 = 0 Ответ: -5; 0; 5.

13) 2х2 + - 3х = 0 Ответ: 0; 1.

14) 4х2 + Ответ: - 0,5.

15) 2х2 + Ответ: нет решений.

16) |5 –х| - |2 –х| = 3 Ответ: х

17) 7 - |х – 1| + |х + 5| =0 Ответ: нет решений.

18) |х – 5| + |5 – х| = 0 Ответ: 5.

19) - |3 – х| + |2 – х| = 3 Ответ: нет решений.

Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие

21

от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей схеме.

1) Если А = 0 и В , то уравнение не имеет решений

(х Ø).

2) Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т. е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х

3) Если А то уравнение имеет единственное решение х =

Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение

(k + 4)х = 2k + 1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.

1) Если k + 4 = 0, т. е. k = -4, то уравнение имеет вид

0 · х = -7, откуда х Ø.

2) Если k + 4 т. е. k то обе части уравнения можно делить на k + 4. Тогда х =

Ответ: если k = -4, то х Ø;

22

если k то х =

Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b.

Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.

Если 8 + 3b,т. е. b то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому х Ø.