Рабочая программа по дисциплине «Алгебра» для ОПОП 44.03.05 «Педагогическое образование» (с двумя профилями подготовки) Информатика и математика (стр. 2 )

1 семестр

Лекция № 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Лекция № 2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Лекция № 3. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Лекция № 4. Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Теорема о транспозиции в перестановке. Определители порядка n. Свойства определителей.

Лекция № 5. Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу).

Лекция № 6. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Равносильные системы.

Лекция № 7. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.

2 семестр

Лекция № 1. Операции над матрицами. Свойства этих операций.

Лекция № 2. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.

Лекция № 3. Векторные пространства. Свойства векторных пространств.

Лекция № 4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Лекции № 5,6. Максимальные линейно независимые подсистемы системы. Основная теорема о линейной независимости.

Лекция № 7,8. Базис векторного пространства. Координаты вектора в базисе. Эквивалентные системы векторов. Линейная оболочка системы векторов.

Лекция № 9. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Лекция № 10. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Лекции № 11,12. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.

Лекция № 13,14. Алгебраические операции. Свойства. Группы. Свойства групп.

Подгруппы. Признаки подгруппы.

Лекция № 15. Кольца. Свойства колец. Подкольца.

Лекция № 16. Поля. Свойства полей. Подполя.

3 семестр

Лекция № 1. построение кольца многочленов от одной переменной.

Лекция № 2. Отношение делимости. НОД многочленов.

Лекция № 3. Взаимно простые многочлены.

Лекция № 4,5. Корни многочлена. Кратные корни. Схема Горнера.

Лекция № 6,7. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия. Формулы Виета.

Лекция № 8. Решение уравнений 3-й степени.

Лекция № 9. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства.

Лекция № 10. Разложение многочлена на неприводимые множители. Неприводимость многочлена над полями и .

Лекция № 11,12. Неприводимость многочлена над полем . Критерий Эйзенштейна.

4 семестр

Лекция № 1. Векторные пространства. Базис и размерность пространства. Подпространство.

Лекции № 2. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. теорема о размерности суммы подпространств.

Лекция № 3. Изоморфизм векторных пространств.

Лекция № 4. Произведение числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого произведения. Матрица перехода от одного базиса к другому.

Лекция № 5. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора.

Лекция № 6. Связь между матрицами одного и этого же линейного оператора в разных базисах.

Лекция № 7. Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы линейного оператора.

Лекция № 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Лекция № 9. Линейные операторы с простым спектром. Приведение матрицы к диагональному виду.

Лекция № 10. Группы. Свойства групп. Подгруппы. Циклические группы. Классификация циклических групп.

Лекция № 11. Смежные классы по подгруппе. Свойства. Теорема Лагранжа.

Лекция № 12. Нормальные делители. Фактор-группы. Теоремы о гомоморфизмах.

3.3.  Перечень тем практических занятий

1 семестр

Занятие № 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Занятие № 2,3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Занятие № 4. Извлечение корня n-й степени из единицы.

Занятие № 5. Четные и нечетные перестановки. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков.

Занятие № 6. Вычисление определителей с использованием свойств.

Занятие № 7. Вычисление определителей путем разложения по строке или столбцу.

Занятие № 8,9. Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения.

Занятие № 10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Занятие № 11. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Занятие № 12. Итоговая контрольная работа.

2 семестр

Занятие № 1. Операции над матрицами.

Занятия № 2,3. Нахождение обратной матрицы.

Занятие № 4. Векторные пространства. Подпространства.

Занятие № 5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Занятия № 6. Максимальные линейно независимые подсистемы системы векторов.

Занятие № 7. Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Занятие № 8. Линейная оболочка системы векторов.

Занятие № 9. Ранг матрицы.

Занятие № 10. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Занятие № 11. Решение однородной системы линейных уравнений.

Занятие № 12. Алгебраические операции.

Занятие № 13. Группы.

Занятие № 14. Подгруппы.

Занятия № 15. Кольца. Подкольца.

Занятия № 16. Поля. Подполя.

3 семестр

Занятия № 1. Деление многочлена на многочлен. Алгебраическое и функциональное равенства многочленов.

Занятие № 2. Алгоритм Евклида.

Занятие № 3. Линейная форма НОД многочленов.

Занятие № 4. Взаимно простые многочлены.

Занятие № 5. Теорема Безу. Схема Горнера.

Занятие № 6. Производная многочлена. Кратность корня.

Занятия № 7. Формулы Виета.

Занятия № 8. Решение уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени.

Занятия № 9. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Занятие № 10. Приводимость и неприводимость многочленов над полями рациональных, действительных и комплексных чисел.

Занятие № 11. Отделение кратных множителей.

Занятие № 12. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

4 семестр

Занятия № 1. Векторное пространство. Подпространство. Базис и размерность.

Занятие № 2. Пересечение и сумма подпространств.

Занятия № 3. Нахождение базиса суммы и базиса пересечения подпространств.

Занятия № 4. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами одного и этого же вектора в разных базисах.

Занятия № 5. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Занятие № 6. Собственные векторы и собственные значения.

Занятие № 7. Группы. Подгруппы.

Занятие № 8. Циклические группы. Изоморфизмы.

Занятия № 9. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Занятия № 10. Нормальные делители.

Занятия № 11,12. Построение фактор-группы по нормальному делителю.

3.4.  Вопросы для контроля и самоконтроля

1 семестр

1.  Алгебраическая форма комплексного числа.

2.  Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

3.  Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

4.  Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

5.  Формула Муавра.

6.  Формула извлечения корня n-й степени из комплексного числа.

7.  Корни n-й степени из единицы.

8.  Понятие инверсии и понятие транспозиции в перестановке.

9.  Четные и нечетные перестановки.

10.  Способы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков.

11.  Определение детерминанта (определителя) порядка n.

12.  Свойства определителей.

13.  Определение минора и алгебраического дополнения.

14.  Формула разложения определителя по строке, по столбцу.

15.  Определение решения системы линейных уравнений.

16.  Определение равносильных систем уравнений.

17.  Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений.

18.  Возможное число решений системы линейных уравнений.

19.  Какие системы можно решить методом Крамера и сколько решений имеют такие системы.

2 семестр

1.  Действие сложения матриц. Какие матрицы можно складывать?

2.  Свойства операции сложения.

3.  Действие умножения матрицы на число. Свойства этого умножения.

4.  Действие умножения матриц. Какие матрицы можно перемножать?

5.  Свойства операции умножения.

6.  Определение обратной матрицы. Для каких матриц существует обратная матрица?

7.  Формула для вычисления обратной матрицы.

8.  Определение векторного пространства.

9.  Примеры векторных пространств.

10.  Определение линейно зависимой системы векторов.

11.  Определение линейно независимой системы векторов.

12.  Определение максимальной линейно независимой подсистемы системы векторов.

13.  Определение ранга системы векторов.

14.  Определение базиса и размерности векторного пространства.

15.  Привести примеры базиса и определить размерность векторных пространств

16.  Определение строчного ранга матрицы.

17.  Определение столбцового ранга матрицы.

18.  Определение минорного ранга матрицы.

19.  Формулировка теоремы о ранге матрицы.

20.  Формулировка Теоремы Кронекера-Капелли.

21.  Однородная система линейных уравнений.

22.  Сколько решений может иметь однородная система линейных уравнений?

23.  Фундаментальная система решений однородной системы.

24.  Определение и примеры бинарных алгебраических операций.

25.  Определение и примеры унарных алгебраических операций.

26.  Определение и примеры группы.

27.  Свойства групп.

28.  Определение и примеры подгруппы.

29.  Критерий подгруппы.

30.  Определение и примеры кольца.

31.  Свойства колец.

32.  Определение и примеры подкольца.