33. Критерий подкольца.
34. Определение и примеры поля.
35. Свойства поля.
36. Определение и примеры подполя.
37. Критерий подполя.
3 семестр
1. Определение степени многочлена.
2. Действия над многочленами.
3. Частное и остаток от деления многочлена на многочлен.
4. Определение НОД многочленов.
5. Способ нахождения НОД двух многочленов.
6. Способ нахождения НОД трех многочленов.
7. Взаимно простые многочлены.
8. Свойства взаимно простых многочленов.
9. Определение кратности корня.
10. Основная теорема алгебры многочленов.
11. Следствия из основной теоремы алгебры.
12. Теорема Безу.
13. Схема Горнера.
14. Формулы Виета.
15. Способ нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.
16. Определение приводимого многочлена.
17. Определение неприводимого многочлена.
18. Свойства неприводимых многочленов.
19. Какие многочлены приводимы и какие многочлены неприводимы над
полем С?
20. Какие многочлены приводимы и какие многочлены неприводимы над
полем R?
21. Необходимое и достаточное условие приводимости многочлена 2-й или 3-ей степени над полем Q.
22. Критерий Эйзенштейна.
23. Привести пример многочлена 6-й степени, приводимого над полем Q и пример многочлена 6-й степени, неприводимого над полем Q.
4 семестр
1. Определение и критерий подпространства векторного пространства.
2. Пересечение подпространств.
3. Сумма подпространств.
4. Будет ли объединение подпространств подпространством?
5. Прямая сумма подпространств.
6. Критерий прямой суммы подпространств.
7. Определение изоморфизма векторных пространств.
8. Определение матрицы перехода от одного базиса к другому.
9. Какими свойствами обладает матрицы перехода?
10. Какова связь координат одного и это же вектора в разных базисах?
11. Определение и примеры линейного оператора.
12. Матрица линейного оператора.
13. Образ линейного оператора.
14. Ядро линейного оператора.
15. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
16. Определение и примеры собственного вектора линейного оператора.
17. Определение характеристического корня матрицы.
18. Связь между собственными значениями линейного оператора и характеристическими корнями матрицы.
19. Линейный оператор с простым спектром.
20. В каком базисе матрица линейного оператора диагональна?
21. Определение и примеры групп.
22. Определение циклической группы, порожденной элементом «а».
23. Бесконечная циклическая группа.
24. Конечная циклическая группа порядка n.
25. Определение смежного класса по подгруппе.
26. Свойства смежных классов.
27. Теорема Лагранжа.
28. Найти все подгруппы циклической группы порядка 8
29. Определение нормального делителя.
30. Критерий нормального делителя.
31. Строение фактор-группы по нормальному делителю.
3.5. Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах
Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия. Так, например, при изучении первой темы «Системы линейных уравнений» студенты обсуждают методы решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, встречающиеся в школьном курсе математик. При изучении темы «Делимость многочленов» обсуждается вопрос об основании деления многочлена на многочлен углом. При рассмотрении вопроса о наибольшем общем делителе многочленов студенты участвуют в обсуждении возможности переноса определения НОД для целых чисел на многочлены.
Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения
1 семестр
Извлечение корня n-й степени из единицы. Формулы для вычисления определителей треугольного вида относительно главной или побочной диагонали. Теорема об определителе произведения двух матриц. Доказательство равносильности систем линейных уравнений, получающихся при применении каждого из элементарных преобразований.2 семестр
Транспонированная матрица. Свойства транспонированных матриц. Элементарные преобразования системы векторов. Доказательство того, что применение любого из элементарных преобразований к системе векторов I приводит к системе векторов II, эквивалентной системе векторов I. Изоморфизм векторных пространств. Доказательство того, что отношение изоморфизма является отношением эквивалентности. Критерий изоморфизма для арифметических векторных пространств.3 семестр
4 семестр
1. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц.
2. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
3. Вырожденные и невырожденные линейные операторы.
4,2. Вопросы для подготовки к теоретической части экзамена.
1 семестр
Операция сложения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Свойства сложения. Операция умножения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Свойства умножения. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из единицы. Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Теорема о транспозиции в перестановке. Определение детерминанта (определителя) порядка n. Свойства 1-5. Определение детерминанта (определителя) порядка n. Свойства 6-10. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Способы вычисления определителей порядка n. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о сумме произведений элементов некоторой строки определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Крамера.2 семестр
1. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число. Свойства этих операций.
2. Операция умножения матриц. Свойства умножения.
3. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
4. Определение векторного пространства. Примеры, свойства.
5. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства.
6. Основная теорема о линейной зависимости.
7. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов. Свойства.
8. Базис векторного пространства. Свойства.
9. координаты вектора в базисе. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.
10. Отношение «линейно выражаться» на множестве всех подсистем векторного пространства. Свойства этого отношения.
11. Элементарные преобразования систем векторов. Эквивалентные системы векторов.
12. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о линейной оболочке.
13. Критерий равенства линейных оболочек подсистем A и B.
14. Строчный, столбцовый ранги матрицы. Доказать, что строчный ранг матрицы не изменится, если переставить местами 2 строки или 2 столбца данной матрицы.
15. Строчный, столбцовый, минорный ранги матрицы. Теорема о ранге матрицы.
16. Теорема Кронекера-Капелли.
17. Подпространство решений однородной системы. Теорема о связи множества решений неоднородной системы и множества решений соответствующей однородной системы.
18. Теорема о числе решений фундаментальной системы.
19. Алгебраические операции, примеры. Свойства бинарных операций.
20. Определение группы, примеры. Единственность нейтрального и обратного элемента в группе.
21. Определение группы. Примеры. Свойства групп.
22. Подгруппы. Признаки подгруппы.
23. Определение кольца. Свойства колец. подкольца. Признаки подкольца.
24. Определение поля. Свойства полей. Подполе. Признак подполя.
3 семестр
1. Построение кольца многочленов от одной переменной.
2. Отношение делимости в кольце многочленов. Свойства.
3. Теорема о существовании частного и остатка.
4. Теорема единственности частного и остатка.
5. НОД многочленов. Алгоритм Евклида.
6. Свойства НОДа.
7. Линейная форма НОД двух многочленов.
8. Взаимно простые многочлены. Свойства.
9. Производная многочлена. Свойства производной.
10. Кратность корня. Связь кратности корня с производной данного многочлена.
11. Теорема Безу. Схема Горнера.
12. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия из неё.
13. Формулы Виета.
14. Решение уравнений 3-ей степени.
15. Решение уравнений 4-ей степени.
16. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства.
17. теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.
18. Неприводимость и приводимость многочленов над полями 
и 
.
19. Критерий приводимости многочленов 2-й и 3-ей степени над полем .
20. примитивный многочлен. Представление всякого многочлена из Q[x] в виде произведения примитивного многочлена на некоторое рациональное число.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
