Современные подходы к моделированию процесса горения смесевого твердого топлива (стр. 4 )

2. Модель локального анизотропного распределения связующего

Из рассмотренных моделей только модель локального анизотропного распределения связующего [29, 30], разрабатываемая авторами настоящей статьи учитывает множество локальных соотношений компонентов топлива и способна смоделировать многоликий про-цесс горения. В статье рассмотрено локальное анизотропное распределе­ние связующего (ЛАРС) около сферической частицы окислителя. Получены уравнения, моделирующие процессы в газовой фазе при горении СТРТ.

2.1. Расчет локального анизотропного распределения связующего

Для расчета распределения связующего предполагается, что в расположении сферических зерен окислителя наблюдается ближний порядок, который соответствует самым плотным кристаллическим упаковкам - либо гранецентрированной кубической, либо гексагональной [31].

Плотнейшая упаковка шаров одного размера получается следующим образом. Шары располагаются в одной плоскости, центры соседних шаров будут находиться на одинаковом расстоянии друг от друга равном диаметру шаров d = Do в вершинах правильного треуголь-ника.

Каждый шар и его 6 ближайших соседей образуют правильный шестиугольник, это показано на рис. 9. На рис. 9а изображены проекции центров шаров на плоскость XY – светлые кружочки. Этот слой условно обозначается слоем А.

Рисунок показывает, что на 7 шаров слоя А во втором слое можно положить только три шарика. Они могут быть расположены двумя способами: либо центры шаров займут поло-жение черных кружочков – слой В, либо крестиков – слой С. Допустим, что расположили слой В. Третий слой может быть либо слоем А, либо слоем С. То есть возможно всего лишь максимум три слоя шариков.

Исходя из требования симметрии, около каждого слоя должны стоять либо два других слоя, то есть чередование слоев АВСАВС, либо по обе стороны один и тот же слой – АВАВАВ.

Другие чередования маловероятны и относятся к дефектам кристаллической структуры. Укладка шаров АВС соответствует гранецентрированной кубической упаковке, а укладка АВА – гексагональной. Обе упаковки имеют одинаковые концентрации шаров, наибольшая объемная доля монодисперсных частиц достигает значения νvm = 0.7405. При меньшей объемной доле νv частиц расстояние между центрами увеличивается и определяется выражением .

Рис. 9с показывает, что трёхсловную систему шаров простым поворотом осей координат на угол 54.74° против часовой стрелки можно перевести в новую двухслоевую систему.

Элементарные ячейки топлива, то есть наименьшие фрагменты СТРТ, горение которых происходит по тем же закономерностям, как и всего топлива в целом, образуются частицей окислителя и ее ближайшими двенадцатью соседями. Принимается, что две элементарные ячейки, соответствующие упаковкам АВС и АВА, равновероятны. Ячейки изображены на рис. 9д, е. Считается, что ячейки хаотично распределены по объему топлива и встречаются одинаково часто.

а)	б)
в)	г)
д)	е)
Рис. 9. Ближний порядок частиц окислителя: a) проекция центров шаров на плоскость XOY; б) ближайшее расположение частиц окислителя; в, г) расположение слоев вдоль оси OZ, д, е) элементарные ячейки топлива; в, д) кубическая гранецентрированная; г, е) гексагональная упаковка шаров

Из рисунка видно, что выбранные ячейки имеют плоскости и оси симметрии. Предпо-ложение о ближнем порядке расположения соседних частиц около центральной и о совпа-дении этого расположения с одной из кристаллических структур позволяет задать координаты центров сферических частиц в декартовой системе координат XYZ с началом в центре ячейки.

Ось OZ совмещается с осью симметрии высшего порядка: это ось третьего порядка для упаковки АВА (рис. 9е) и ось четвертого порядка для упаковки АВС (рис. 9д). На рисунке оси симметрии перпендикулярны плоскости чертежа. Вторая декартовая ось координат прово-дится через центры трех близлежащих шаров, расположенных на расстоянии d друг от друга.

Рассматриваемые элементарные ячейки расположены и ориентированы внутри топлива беспорядочно, и для анализа распределения связующего на поверхности горения необходимо ввести новую систему координат FCH, связанную с поверхностью топлива. Для дальнейшего анализа удобно считать основной систему XYZ, в которой известны положения шаров.

Поверхность горения будет произвольно ориентирована в данной системе и одновре-менно является секущей плоскостью ячейки. Основная система XYZ при помощи двух пово-ротов осей координат на углы α и β и одного параллельного переноса на расстояние S переводится в поверхностную FCH.

При произвольной ориентации системы FCH в основной XYZ, в секущей плоскости сечения зерна окислителя будут разбросаны хаотично. Согласно стереологическому прин-ципу, при беспорядочном распределении частиц по объему, суммарная площадь плоских сечений всех частиц постоянна на любых равных площадях в произвольной секущей топливо плоскости. При этом поверхностная доля площади окислителя равна его объемной доле во всем топливе.

В выбранной элементарной ячейке центральный шар окружен 12 соседями, центры которых находятся на сфере радиусом d. Каждая ячейка имеет 50 осей симметрии. Учитывая, что ось дважды пересекает сферу, в среднем на каждое пересечение приходится телесный угол 4π/100 = 0.126 стер. Видимо дальнейшее деление нецелесообразно, поэтому принимается совпадение скорости горения топлив только с осями симметрии ячеек. В табл. 1 приведены оси симметрии элементарных ячеек, указаны их сферические координаты, приведены вероят-ности появления осей с учетом их повторяемости.

Табл. 1. Расчетные оси элементарных ячеек

№ оси	Варианты упаковки	Координаты оси	Число повторений оси	Вероятность появления оси
α (град)	β (град)
1	АВС АВА	0 0	32.264 90	8 2	0.0549
2	АВС	45	0	6	0.0811
3	АВС АВА	0 30	0 0	12 6	0.1875
4	АВА АВС	60 0	0 54.736	6 24	0.3125
5	АВА	0	19.471	6	0.0329
6	АВА	60	35.264	6	0.0811
7	АВА	0	54.736	6	0.0625
8	АВА	60	70.529	6	0.0625
9	АВА	19.107	28.126	12	0.1250
В модели Кинга [18] выгорание топлива рассматривалось только вдоль оси №2

2.2. Локальное анизотропное распределение связующего по поверхности топлива

Практически представляет интерес такое положение секущей плоскости, чтобы ее рас-стояние от центра ячейки не превышало радиуса частиц . Тогда центральная частица будет пересекаться плоскостью и ее сечение всегда находится в начале координат FC, связанной с поверхностью топлива. Радиус сечения центральной частицы окислителя .

Сейчас достаточно определить принадлежащее центральному сечению связующее, а связующее к другим сечениям не рассчитывать, так как они автоматически нами учтены при расчете вероятности появления осей. Для распределения связующего в плоскости горения между сечениями окислителя делаются следующие два предположения.

По первому предположению площадь горючего вдоль какого-нибудь направления около частицы окислителя пропорциональна площади сечения этой частицы.

Если из произвольной точки В на границе раздела связующего АВ (рис. 10) провести лучи в центры сечений ближайших частиц окислителя О и Р, то, согласно сделанному предположению, вдоль этих лучей получаются отношения площадей

где полярный радиус точки В на границе горючего,

R1 и R0 – радиусы сечений частиц окислителя.

С другой стороны из треугольника ОВР по теореме косинусов

где φ – полярный угол точки В.

Совместное решение уравнений дает выражение для полярного радиуса

где

а)	б)
Рис. 10. Определение границы связующего на поверхности горения. АВ – граница по первому предположению, дуга окружности радиуса R с центром в точке О1.

Полученная зависимость представляет собой уравнение окружности в полярных коорди-натах радиусом с центром в точке на полярной оси ОХ.