Варианты заданий для заочного отделения (стр. 4 )

i – процентная ставка.

Тогда итог первого периода  − (Р + Рi) = Р(1 + i) ,

т. е. итог периода в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода.

Итог в конце второго периода – Р(1 + i)(1 + i) = P(1 + i.)

Тогда в конце n периодов:                S = P(1 + i)ⁿ                 (4)

(1 + i)ⁿ  −  множитель наращения.

Равенство (4) называется основной формулой сложного процента. В качестве периода начисления процентов обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, полугодие или год.

3.2  НОМИНАЛЬНАЯ  И  ЭФФЕКТИВНАЯ  СТАВКИ  ПРОЦЕНТОВ.

Пусть  j – годовая ставка сложных процентов

m – число периодов начисления в году

N – календарный срок пользования кредитом (в годах)

n – срок пользования кредитом в периодах начисления (n = mN)

Т – период начисления процентов

а – целая часть n

b - дробная часть (n = a + b)

Ставка сложных процентов j, начисляемая m раз в году, называется номинальной, а проценты каждый период начисляются по ставке  j/m.

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

                       S = P (1 + j/m)         (5)

Если срок  ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то наращенную сумму можно рассчитывать математическим (по формуле сложных процентов) или банковским методом  (за целое число периодов начисляются сложные проценты, а за дробное – простые).

Банковский метод более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:

                       S = P· (1 + j/m)Є · (1 + b · j/m)        (6)

Годовая эффективная процентная ставка i, соответствующая заданной номинальной ставке j, начисляемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года.

Другими словами эффективная ставка -  это процентная ставка, которая начисляется  один раз в год и  дает тот же финансовый результат, что и ставка сложных процентов, начисляемая несколько раз в год.

Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

Следовательно можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

                               (1 + j/m) = (1 + i )

Отсюда получаем:                        i = (1 + j/m) - 1                (7)

Обратная зависимость имеет вид:                 i = m· ((1 +  i) - 1)        (8)

3.3  УЧЕТ  ПО  СЛОЖНОЙ  СТАВКЕ  ПРОЦЕНТОВ.

Рассмотрим два вида учета: математический и банковский (также как и в случае простых процентов).

а) Математический учет:

P = S / (1 + i)ⁿ

Если проценты начисляются m раз в году:

P = S / (1 + j/m) 

б) Банковский учет: в этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.

P = S (1 – d) ⁿ                (9)

Пусть  f – номинальная учетная ставка, начисляемая m раз в году, тогда:

P = S(1 – f/m)                (10)

Эффективная учетная ставка – это сложная годовая учетная ставка, эквивалентная (по финансовым результатам) номинальной учетной ставке, применяемой m  раз в году.

Запишем равенство для соответствующих дисконтных множителей:

               (1 – f/m)  = (1 – d)  

Тогда:        

               d = 1 – (1 – f/m)                (11)

               f  = (1 − (1 – d) )·m        (12)

3.4 НЕПРЕРЫВНЫЕ  ПРОЦЕНТЫ.

Чем больше число периодов начисления процентов в году, тем меньше интервалы между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем:

S = P (1 + j/m) = P ((1 + j/m))) = Pe        (m → ∞)

((1 + 1/m) = e  – второй замечательный предел)

Ставку непрерывных процентов называют силой роста и обозначают д.

Тогда                        S = Pe                (13)

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок:

                       P = Se                (14)

Формулу перехода от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот можно получить приравняв соответствующие множители наращения:

(1 + i)= e         →        д = ln(i + 1)                

i = e- 1                

3.5  РАСЧЕТ  СРОКА  ССУДЫ  И  ПРОЦЕНТНЫХ  СТАВОК.

Нередко начальная и конечная суммы заданы контрактом и требуется определить либо процентную ставку, либо срок платежа.

Эти величины можно найти из исходных формул наращения или дисконтирования.

а) Простые проценты:        S = P (1 + ni)        →        n = (S/P – 1)/i

                                               i = (S/P – 1)/n

       

P = S (1 – dn)        →        n = (P/S – 1)/d

                                               d = (P/S – 1)/n

б) Сложные проценты:        S = P (1 + i) ⁿ         →        n =

                                                               i = (S/P)- 1

P = S (1 – d) ⁿ                →        n =