Варианты заданий для заочного отделения (стр. 7 )

Значит наращенная сумма обычной годовой ренты равна:

               S = R= R = Rs        (21)

               

где                s= − коэффициент наращения ренты

б) Рента р-срочная, р≥1, m≥1

Это самый общий случай р-срочной ренты.

Проценты начисляются m раз в год, причем возможно р≥m.

В конце срока первый взнос R/p, уплаченный через 1/р года после начала срока ренты, эквивалентен сумме:        R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)        

второй взнос:                R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

.........................................................................

(Np − 1) −ый взнос:        R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

последний взнос:        R/p·(1 + j/m) = R/p

Значит:                S = R/p + R/p·(1 + j/m)+ …..+ R/p·(1 + j/m)

Таким образом, наращенная сумма равна сумме членов геометрической прогрессии, в

которой первый член - R/p, знамена+ j/m), а число членов прогрессии – pN.

Т. е.        S =R/p· = R        (22)

в) Годовая рента, начисление процентов m раз в год.

Для вычисления наращенной суммы в этом случае используем формулу (22) при р = 1.

S = R = R                (23)

г) Рента р-срочная, m = 1.

S = R= R= Rs        (24)

где        s = − коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.

д) Рента р-срочная, p = m.

S = R = R                (25)

5.2  ФОРМУЛЫ  СОВРЕМЕННОЙ  ВЕЛИЧИНЫ.

Современная величина (стоимость) аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на начало срока ренты.

Другими словами под современной величиной аннуитета понимают сумму всех его членов, приведённых (дисконтированных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом срока ренты или предшествующий ему.

а) обычная годовая рента.

Платежи в конце каждого года, проценты начисляются один раз в год

(N = n, R − разовый платёж).

На начало срока ренты первый взнос эквивалентен сумме:        R(1 + i)

второй взнос:                                R(1 + i)

...............................................................................

(n − 1) – ый взнос:                        R(1 + i)

n − ый взнос:                                R(1 + i)

Значит:                А = R(1 + i)+ …….+ R(1 + i)

Таким образом, современная стоимость равна сумме членов геометрической прогрессии,

в которой первый член равен  R(1 + i), знаменатель  –  (1 + i), а число членов  –  n.

Т. е.                А = R(1 + i)·= R = Rа        (26)

               

где                a=   − коэффициент приведения ренты.

б) Рента р-срочная, р≥1, m≥1

Это самый общий случай р-срочной ренты (pN − число платежей). Проценты начисляются m раз в год, причем возможно р≥m.

На начало срока первый взнос R/p, уплаченный через 1/р года после начала срока ренты, эквивалентен сумме:        R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

       

второй взнос:                R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

.........................................................................

(Np − 1) −ый взнос:                R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

последний взнос:                R/p·(1 + j/m) = R/p·(1 + j/m)

Значит:                А = R/p·(1 + j/m)+ …..+ R/p·(1 + j/m)

Таким образом, современная стоимость равна сумме членов геометрической прогрессии,

в которой первый член равен R/p·(1 + j/m), знамена+ j/m),

а число членов прогрессии – pN.

Т. е.  А = R/p·(1 + j/m)· = R        (27)

в) Годовая рента, начисление процентов m раз в год.

Формулу для вычисления современной величины в этом случае получим из формулы (27) при р = 1.

А = R = R                (28)

г) Рента р-срочная, m = 1.

A = R= R= Ra        (29)