Финансово-экономическое обоснование страховых тарифов по обязательному страхованию гражданской ответственности владельцев транспортных средств (стр. 5 )

Рис. 4. Принципиальная схема интервально цензурированной выборки

       Формально процедура формирования интервально цензурированной выборки выполнялось в три этапа:

(i)        определялась оценка математического ожидания РЗНУ для частично оплаченных убытков по следующей формуле:

                                                       (5)

где                - оплаченный убыток;

               - коэффициент развития убытков в зависимости от квартала происшествия (см. выше);

               - доля резерва заявленных неурегулированных убытков в общем объеме резервов убытков в зависимости от квартала происшествия.

       Информацию о доле резервов заявленных, но неурегулированных убытков в резервах убытков предоставил РСА. Для последующих расчетов использовались данные сглаженные следующей аналитической кривой: 

,                                (6)

где                - порядковый номер квартала развития убытков.

(ii)        оценивались параметры распределения РЗНУ по данным с многократно оплаченными убытками в виде распределения Вейбулла

где b=0.8 – параметр формы (предполагается постоянным).

(iii)        используя закон распределения РЗНУ и полученную оценку математического ожидания определялся квантиль уровня 99.9%, которая и принималась за оценку правой границы цензурирующего множества, а левая граница принималась равной оплаченному убытку.

Регрессионная модель Кокса

       Для прогнозирования размера страховых выплат при увеличении лимита ответственности на одного пострадавшего до 400 тыс. рублей использовалась регрессионная модель Кокса, которая предполагает следующую связь функций распределения выплат по страховым полисам ОСАГО в разные периоды времени :

,                                                (7)

где         - неизвестный параметр модели.

       Иначе это означает, что если для некого страхового случая, произошедшего в момент времени , размер страховой выплаты равен , то для аналогичного страхового случая, произошедшего в момент , размер страховой выплаты равен:

.                                                                (8)

Отсюда следует, что если и , то , т. е. (7) является логарифмически линейной моделью с , играющим роль члена ошибок.

       Оценка параметров базового распределения и параметра регрессионной модели Кокса производится методом максимального правдоподобия с использованием процедуры LIFEREG. Процедура позволяет использовать полные данные, а также данные цензурированные слева, справа и/или интервалом.

       Предполагается, что базовое распределение принадлежит семейству логнормальных распределений, с функцией дожития:

                                                       (9)

и плотностью распределения

,                                                (10)

где         - кумулятивная функция стандартного нормального распределения;

        - параметр масштаба (SCALE);

       - свободный член ().

       Заметим, что расчет производится для базовых функций дожития/плотностей распределения, которые выводятся из приведенных выше формул с использованием следующего преобразования

.                                                                                (11)

       Для функции дожития и плотности логнормального распределения имеем

                                                                       (12)

и

.                                                        (13)

Результаты расчетов

       В таблице ( рис. 5) приведены результаты по данным по договорам и убыткам ОСАГО за период с 1 июля 2009 года по 30 июня 2013 года. Из этих данных следует, что согласно критерию регрессионная модель Кокса для рассматриваемого семейства распределений удовлетворительно аппроксимирует исходные данные в период с III квартала 2009 года по II квартал 2013 года.

Analysis of Maximum Likelihood Parameter Estimates
Parameter	DF	Estimate	Standard Error	95% Confidence Limits	Chi-Square	Pr > ChiSq
Intercept	1	-238.886	0.8722	-240.596	-237.177	75019.4	<.0001
T	1	0.1235	0.0004	0.1227	0.1244	81198.4	<.0001
Scale	1	1.1157	0.0003	1.1151	1.1163 (14)

Рис. 5 Стандартная выдача процедуры LIFEREG

       Формально, предложенная модель позволяет спрогнозировать распределение размера убытка в любом году (см. рис. 6), а, следовательно, рассчитать рост среднего размера убытка. Однако точность прогноза будет зависеть от адекватности модели исходным данным и глубины прогноза (точность будет падать вместе с ее ростом).

       Результаты расчета ожидаемого увеличения среднего размера убытка на одного пострадавшего при увеличении лимита ответственности приведены в табл. 7. Расчет проводился с использованием полученной ранее оценки функции распределения размера убытка по формуле:

где   и - действующий и перспективный лимит ответственности, соответственно равный 120 и 400 тыс. руб.