Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» изучается в 7 и 8 семестрах. Общая трудоёмкость 4 зачётных единицы (144 часа), из них 14 аудиторных. Изучение предусматривает экзамен в 8 семестре.

2.1. Структура дисциплины

Таблица 2

№

раз-

дела

Наименование разделов

Семестр

Количество часов

Всего

Аудиторная

работа

СР

Л

ПЗ

1

Геометрические объекты.

3

114

36

18

60

Итого:

114

36

18

60

2

Гладкие и римановы многообразия

4

90

20

10

40

3

Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий

4

84

20

10

42

Итого:

174

40

20

82

Всего:

288

76

38

142

2.2. Содержание дисциплины

Таблица 3

№ разде-ла

Наименование
раздела

Содержание раздела

1

Геометрические объекты

Плоские и пространственные кривые, способы их задания. Репер Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Эволюта и эвольвента. Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль.  Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности. Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности.  Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Деривационные формулы, символы Кристоффеля, геодезическая кривизна. Проективное пространство и его аффинная карта. Модели проективных пространств малых размерностей. Метрические группы.

2

Гладкие и римановы многообразия

Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность. Определение гладкого многообразия и примеры, отображения многообразий, многообразие с краем. Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра. Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий. Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия. Тензор кривизны, порождённый метрикой.

3

Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий

Разбиение единицы на многообразии. Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Понятие гомотопии, относительная гомотопия. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности, теорема Гаусса-Бонне. Индекс особой точки векторного поля, теорема Пуанкаре-Бендиксона.

3. Образовательные технологии

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Таблица 4

№

занятия

№

раздела

Тема занятия

Виды образовательных технологий

Кол-во часов

1.

1

Тема 1.        Гладкие кривые: Плоские и пространственные кривые, способы их задания. 

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

2.

1

Тема 1.        Гладкие кривые: Плоские и пространственные кривые, способы их задания. 

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)

2

3

1

Тема 1.        Гладкие кривые: Репер  Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. 

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

4

1

Тема 1.        Гладкие кривые: кривизна и кручение кривой, формулы Френе.

Практическое занятие (Традиционные технологии)

2

5.

1

Тема 2.        Гладкие поверхности: Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль.

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

6

1

Тема 2.        Гладкие поверхности: Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль.

Практическое занятие (Традиционные технологии)

2

7.

1

Тема 2.        Гладкие поверхности Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности. 

Информационная лекция (Традиционные технологии)

Лекция-визуализация

2

8

1

Тема 2.        Гладкие поверхности Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности.

Практическое занятие (Традиционные технологии)

2

9

1

Тема 2.        Гладкие поверхности Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности. 

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

10

1

Тема 2.        Гладкие поверхности Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности

Групповое обсуждение (Интерактивные технологии)

2

11

3

Тема 4.        Гладкие многообразия.  Элементы общей топологии: Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность.

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

12

2

Тема 4.        Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)

2

13.

2

Тема 4. Гладкие многообразия.  Элементы общей топологии: Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.

Лекция-беседа (Интерактивные технологии)

2

14.

2

Тема 4.        Гладкие многообразия.  Элементы общей топологии: Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.

Практическое занятие (Традиционные технологии)

2

15

2

Тема 5.        Тензорный анализ на многообразиях: Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование. Дифференциал отображения.

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

16

2

Тема 5.        Тензорный анализ на многообразиях: Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование. Дифференциал отображения.

Практическое занятие (Традиционные технологии)

2

17.

3

Тема 7.        Интегрирование на многообразии: Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

18

3

Тема 7.        Интегрирование на многообразии: Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.

Практическое занятие в форме презентации (Интерактивные технологии)

2

19

3

Тема 8. Элементы топологии многообразий: Понятие гомотопии, относительная гомотопия.  Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Теорема Гаусса-Бонне.

Информационная лекция (Традиционные технологии)

2

20

3

Тема 8. Элементы топологии многообразий: Понятие гомотопии, относительная гомотопия.  Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Теорема Гаусса-Бонне.

Практическое занятие в форме презентации (Интерактивные технологии)

2

4. Самостоятельная работа студентов

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4