- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической карте.

Содержание самостоятельной работы

Вариант 1

1. Написать уравнения касательной и нормали к плоской кривой

у=х2+4х+3, z=0 в точке с абсциссой х0= –1.

Ответ: 2х–у+2=0, х+2у+1=0.

2. Найти углы, под которыми пересекаются линии у=sinx и y=cosx.

Ответ: arc tg 2 .

3. Докажите, что проекцией линии z=x2+2 y2  2x–4y+z–1=0 на плоскости XOY является эллипс и вычислите его полуоси.

Ответ: 2 и .

4. Вычислите кривизну и кручение кривой х=2 t, y=ln t, z = t2.

Ответ: 2t(1+t2) - 2, – 2 t (1 + t2) – 2 .

5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности:

x=(a+b cos u)⋅ cosv, y=(a+b cos u)⋅sin v, z=b sinu, и найдите главные направления.

Ответ: b2 d u2+(a+b cos u)2d v2, b d u2+cosu (a+b cos u) dv2, (d u, 0) и (0, d v).

Вариант 2

1. Найдите касательную и нормаль плоской кривой у2=2 р х, z=0 в точке с абсциссой  х0 = р.

Ответ:  у=; у=–.

2. Найдите кривизну плоской линии у=sin x, z = 0 .

Ответ: .

3. Составьте уравнение соприкасающейся плоскости линии х =t cos t, y=–t sin t, z = a t,  где a – const, в начале координат.

Ответ:  – а х + z = 0 .

4. Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности х=2 u– v, y=u2+v2, z=u3 – v3 в точке (3, 5, 7).

Ответ: 18 х + 3 у – 4 z – 41 = 0 .

5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности: x=R cosu cosv, y = R cos u sin v, z=R sin u  , укажите главные направления.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ: R2 (d u2 + cos2 u d v2) , R2 (d u2 + cos2 u d v2) , все направления главные.

Вариант  3

1. Составьте уравнение касательной и нормали к плоской кривой y=x3, z=0 в точке с абсциссой х0=0 .

Ответ:  у = 0 , х = 0 .

2. Вычислить кривизну плоской линии x = t2 , y = t3 .

Ответ:  6 : [ t (4 + 9 t2)3/2 ] .

3. Найдите проекцию линии у2 = х z, x – y + z + 1 = 0на плоскости  XOZ.

Ответ:  x2 + z2 + x z + 2 x + 2 z + 1 = 0  y = 0

4. Вычислите кривизну и кручение кривой x =cos3 t, y = sin3 t, z = cos2 t.

Ответ:  .

5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности: x=ucos v, y= usinv, z=кu. Укажите главные направления.

Ответ:  (1 + к2) d u2 + u2 d v2 , , (d u, 0), (0, d v).

Вариант  4

1. Докажите, что линии y=a sin , y = a tg , y = a⋅ ln пересекает ось абсцисс под одним и тем же углом, не зависящим от величины а.

2. Найдите кривизну плоской кривой x = a cos t,  y = b sin t.

Ответ:  ab :  [ a2 sin2 t + b2 cos2 t ] .

3. Напишите уравнения соприкасающейся плоскости линии  x = a cos t, y = b sin t,  z = et в точке (а, 0, 1).

Ответ:  b x + a y + a b z = 2 a b.

4. Напишите уравнение нормали поверхности x=u + v, y = u – v,  z = u v  в точке  u = 2 , v= 1 .

Ответ: .

5. Вычислить I и II квадратичные формы гиперболического параболоида x=u, y=v, z=u v. Укажите главные направления.

Ответ:  (1 + v2) d u2 + 2 u v d u d v + (1 + u2) d v2 ,  2 d u d v,  .

Вариант  5

1. Написать уравнение касательной и нормали к плоской кривой y=sin x в точке с абсциссой х0 = π .

Ответ:  х + у – π = 0  ,  х – у – π = 0 .

2. Найти кривизну плоской кривой х = а (t – sin t) ,  y = a (1 – cos t) .

Ответ: .

3. Докажите, что проекцией линии x = y2 + z2  x – 2 y + 4 z – 4 = 0 на плоскости YOZ является окружность с центром в точке (0 , 1 , – 2) и радиусом r=3 .

4. Вычислите кривизну и кручение кривой x = 2 t, y = ln t, z = t2 .

Ответ:  2 t (1 + t2)–2 ,  – 2 t (1 + t2)–2 .

5. Вычислить I и II квадратичную формы поверхности x=R cos v, y=R sin v, z=u. Укажите главные направления.

Ответ:  d u2 + R d v2 ,  R d v2 ,  (d u, 0)  и  (0 , d v) .



Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4