Математическая статистика. Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса ФПМИ (направление 510200 - “Прикладная математика и информатика” дневного отделения) (стр. 3 )

Пример 1.4

Построить точный -доверительный интервал по выборке для параметра экспоненциального распределения , .

Решение:

Функция распределения является монотонной (возрастающей) по параметру (), следовательно, в качестве центральной статистики можно взять , которая подчинена гамма-распределению с функцией плотности , , , – объем выборки.

Тогда границы -доверительного интервала определяются при численном решении уравнений: , , где и выбираются такими, что .

1.1.5. Построение асимптотического доверительного интервала

Оценки максимального правдоподобия при достаточно общих условиях являются асимптотически эффективными и асимптотически нормальными, следовательно

,

где – функция распределения стандартного нормального закона, – информационное количество Фишера, – ОМП. Отсюда , тогда – асимптотически  кратчайший  -доверительный интервал для .

Пример 1.5

       Пусть – выборка из гамма-распределения с функцией плотности , ≥0. Построить асимптотический -доверительный интервал для параметра масштаба , считая, что – известно.

       Решение:

       Пусть .

       Оценкой максимального правдоподобия параметра при известном параметре формы имеет вид: . ОМП параметров гамма-распределения являются асимптотически нормальными, поэтому сходится к стандартному нормальному распределению. По таблице из приложения 2:  . .  Следовательно, случайный интервал является асимптотическим - доверительным интервалом.

1.2. Свойства оценок параметров

1.2.1. Несмещенность

Статистика называется несмещенной оценкой параметра , если выполняется условие: .

Несмещенной оценкой с равномерно минимальной дисперсией (НОРМД) называется такая оценка , что , .

1.2.2. Состоятельность

Оценка некоторой функции называется состоятельной, если  , , при . То есть , при .

Свойство состоятельности обязательно для любого правила оценивания, однако оно является асимптотическим и не связано со свойствами оценки при фиксированном объеме выборки (в отличие от свойств несмещенности и минимальной дисперсии).

Критерий состоятельности. Пусть и при . Тогда  – состоятельная оценка функции .

1.2.3. Эффективность

Семейство является регулярным, если выполняются следующие условия:

для любого , , плотность дифференцируема по , то есть существует ; множество не зависит от .

Неравенство Рао-Крамера. Если выполняются условия регулярности, то для любой несмещенной оценки параметрической функции справедливо неравенство:

,  (1.2)

где – информационное количество Фишера. Оценка, при которой достигается нижняя граница неравенства (1.2), называется эффективной.

Критерий эффективности. – эффективная оценка , если

  ,  (1.3)

где – некоторая функция от , .