Математическая статистика. Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса ФПМИ (направление 510200 - “Прикладная математика и информатика” дневного отделения) (стр. 5 )

Проверка статистической гипотезы состоит в том, чтобы сформулировать такое правило, которое позволило бы по результатам соответствующих наблюдений принять или отклонить гипотезу.

Правило, согласно которому гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием проверки гипотезы.

2.1. Гипотеза о виде распределения

Пусть имеется выборка наблюдаемой случайной величины с функцией распределения .

а) Простой гипотезой является утверждение : =, где полностью задана.

б) Сложной гипотезой является утверждение : 

Для проверки гипотезы о виде распределения используются критерии: Колмогорова, Смирнова, и Мизеса (при негруппированных наблюдениях), Пирсона, отношения правдоподобия (при группированных наблюдениях).

Пример 2.1

Дана выборка объема :

	1	2	3	4
	15	8	4	3

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с законом Пуассона.

Решение:

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку распределение случайных величин является дискретным, для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием Пирсона.

,

ОМП для параметра является . Для данной выборки . Тогда , ,  , , , , .

Статистика Пирсона:

В случае оценивания по данной выборке параметров распределения, статистика Пирсона подчиняется -распределению с степенью свободы, где – число групп. В данном случае число степеней свободы равно . Находим по таблице из приложения 3 критическое значение статистики Пирсона при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Пуассона отвергается. Отметим, что если , то гипотеза о согласии не отвергается.

Пример 2.2

В следующей таблице представлены результаты измерений длин чайных ложечек в сантиметрах.

9.65	9.05	9.20	9.79	6.69	9.14	9.93	11.95	10.20	10.21
8.58	9.82	11.75	9.05	12.31	10.47	10.10	8.40	10.77	10.19
8.78	10.36	7.30	11.03	12.47	11.06	10.31	7.43	9.87	10.29
9.41	10.37	9.52	10.15	5.36	11.02	8.52	8.34	10.94	9.33
10.01	9.87	9.43	8.27	10.34	9.48	9.61	10.95	10.01	9.86

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с распределением Лапласа.

Решение:

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку мы имеем непрерывную случайную величину, то для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием типа Колмогорова, статистика которого имеет вид: , где , , . Объем выборки , – упорядоченные по возрастанию вы­бо­роч­ные значения, – функция распределения Лапласа.

Для нахождения ОМП параметров распределения воспользуемся программной системой ISW 4.0 [10]: , .

Вычисляем значение статистики Колмогорова . Находим по таблице из приложения 5 критическое значение статистики Колмогорова при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Лапласа не отвергается.

2.2. Гипотеза независимости

В эксперименте наблюдается двумерная случайная величина с неизвестной функцией распределения , и есть основания предполагать, что и независимы. В этом случае нужно проверить гипотезу независимости:

:,

где и некоторые одномерные функции распределения.

Для проверки гипотезы независимости используется критерий Пирсона. Если исходные данные негруппированы, то предварительно производится группировка наблюдений.

Пример 2.3

В следующей таблице представлены значения показателя и значения показателя в течение 12 лет.

Год			Год
1986	152	170	1992	177	200
1987	159	179	1993	179	207
1988	162	187	1994	184	215
1989	165	189	1995	186	216
1990	170	193	1996	190	220
1991	172	199	1997	191	225

Проверить гипотезу о независимости величин и .