Пример 1.6

Пусть – выборка из распределения Максвелла с функцией плотности , .

Требуется проверить оценку на несмещенность, состоятельность и эффективность.

Решение:

Несмещенность.

,

  оценка является несмещенной оценкой параметра .

Состоятельность.

Поскольку является несмещенной, то нам достаточно исследовать дисперсию оценки .

, ,

по критерию состоятельности, оценка является состоятельной.

Эффективность.

Проверим, достигается ли нижняя граница в неравенстве Рао-Крамера.

Найдем информационное количество Фишера:

;

, не является эффективной оценкой .

Пример 1.7

Найти функцию , допускающую эффективную оценку для параметра масштаба распределения Вейбулла:

, , ,  .

Решение:

Вероятностная модель является регулярной, так как область определения случайно величины не зависит от параметров и функция плотности дифференцируема по . Поэтому можно воспользоваться критерием эффективности (1.3). Логарифмическая функция правдоподобия и её производная имеют вид:

,

.

Отсюда

.

Таким образом, оценка является эффективной оценкой функции .

1.3. Достаточные статистики

Статистика называется достаточной для модели , если условная плотность (или условная вероятность в дискретном случае) случайного вектора при условии не зависит от параметра .

Критерий факторизации. Для того чтобы статистика была достаточной для , необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия имела вид

,  (1.4)

где функция зависит от выборки только через , а функция не зависит от .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример 1.8

Пусть – выборка из распределения Рэлея с функцией плотности , , . Найти достаточную статистику для параметра .

Решение:

Воспользуемся критерием факторизации (1.4).

.

Тогда

,  ,

где – достаточная статистика.

1.4. Варианты заданий

Пусть – выборка из заданного в соответствии с вариантом распределения.

Найти точечную оценку неизвестного параметра (или некоторой функции ) по методу моментов или по методу максимального правдоподобия. Проверить полученную оценку на несмещенность, состоятельность и эффективность. Найти достаточную статистику. Найти функцию , допускающую эффективную оценку. Построить точный доверительный интервал. Построить асимптотический доверительный интервал.

№

Закон

Неизвестные параметры

Известные параметры

Биномиальное

–

Отрицательное биномиальное

–

Геометрическое

–

Пуассона

–

Паскаля

–

Нормальное

Нормальное

Равномерное

–

Бета-распределение

Бета-распределение

Бета-распределение

Бета-распределение

Лапласа

Лапласа

Двустороннее экспоненциальное

,

Двустороннее экспоненциальное

Полунормальное

–

Рэлея

–

Максвелла

–

Гамма

Гамма

Вейбулла

Вейбулла

Логнормальное

Логнормальное

Часть 2. Проверка статистических гипотез


Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин (обычно она обозначается H0 и называется основной).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13